Идея непрерывности

Содержание.

Введение. 2

Глава 1. Теоремы о функциональных уравнениях. 3

Глава 2. Решение функциональных уравнений методом разделения переменных. 8

Глава 3. Уравнения вида f(u) + f(v) = f(u ₁ ) + f(v ₁ ). 12

Глава 4. Метод Коши. 14

Глава 5. О решении уравнений вида f (α (x)) =f (β (x)). 19

Глава 6. Композиция функций и функциональные уравнения. 21

Глава 7. Другие методы решения функциональных уравнений. 25

Метод подстановки. 25

Функциональные уравнения для произвольных функций. 26

Функциональные уравнения для непрерывных функций. 26

Функциональные уравнения для дифференцируемых функций. 26

Функциональные уравнения для многочленов. 27

Список литературы. 28

Введение.

Проблема, актуальная для всех участников различных олимпиад:

· В региональных олимпиадах МГУ, УрФУ и других вузов, в демовариантах ЕГЭ встречаются уравнения, содержащие функции. Решение таких уравнений не рассматривается на уроках.

Объект исследования:

· Функциональные уравнения

Предмет исследования:

· Методы решения функциональных уравнений.

Функциональное уравнение - это уравнение, в котором неизвестными являются функции (одна или несколько). Например,

Решить функциональное уравнение — значит, найти неизвестную функцию, при подстановке которой в исходное функциональное уравнение оно обращается в тождество (если неизвестных функций несколько, то необходимо найти их все).

Соотношения, задающие функциональные уравнения, являются тождествами относительно некоторых переменных, а уравнениями их называют потому, что неизвестные функции — искомые.

Многие функциональные уравнения содержат несколько переменных. Все эти переменные, если на них не наложены какие-то ограничения, являются независимыми.

Всегда четко должно быть оговорено, на каком множестве функциональное уравнение задается, т.е. какова область определения каждой неизвестной функции. Общее решение функционального уравнения может зависеть от этого множества.

Кроме области определения функций, важно знать, в каком классе функций ищется решение. Количество и поведение решений очень строго зависит от этого класса.

Вообще для функциональных уравнений, не сводящихся к дифференциальным или интегральным, известно очень мало общих методов решения. Рассмотрим основные приемы, помогающие найти решения таких уравнений.

Идея непрерывности.

Определение. Функцию F (x) будем называть непрерывной в точке x ₀, если для неё выполняются следующие два условия:

1) x ₀ Î D (F), т. е. x ₀ принадлежит области определения функции;

Если хотя бы одно из данных условий не выполняется, то функция не будет непрерывной в точке x ₀, т. е. является разрывной.

Теорема Больцано — Коши. Если функция f (x) непрерывна в некотором промежутке [ a, b ] и на концах этого промежутка принимает неравные значения f (a) = A и f (b) = B, то она также принимает все промежуточные между A и B значения на промежутке [ a, b ].

Пример 1. Функция f непрерывна на вещественной прямой и удовлетворяет равенству f (f (x)) = x для всех x. Доказать, что уравнение f (x) = x имеет хотя бы один корень.

Решение. Рассмотрим функцию g (x) = f (x) – x. Допустим, что f (x) № x для всех x. Тогда g (x) № 0 для любого x. Поэтому функция g (x) либо везде положительная, либо везде отрицательная. (Если бы существовали a и b такие, что g (a) < 0, g (b) > 0, то по теореме Больцано-Коши функция должна принимать все промежуточные между g (a) и g (b) значения, в том числе и нуль, что невозможно.) Пусть для определённости g (x) < 0, т. е. f (x) < x. Обозначим y = f (x), y < x. Поскольку f (f (x)) = x, то f (y) = x > y, откуда g (y) = f (y) – y > 0. Противоречие. Значит, при некотором x имеем f (x) = x.

Пример 2. Функция F задана на всей вещественной оси, причём для любого x имеет место равенство: F(x+1)·F(x)+F(x+1)+1 = 0. Доказать, что функция F не может быть непрерывной.

Решение. Покажем, что значения функции F не могут изменяться непрерывно. Во-первых, понятно, что функция F не может принимать значение -1. Действительно, если F(x) = -1, то из исходного уравнения имеем: F(x+1)+F(x+1)+ 1 = 0, что невозможно. Кроме того, функция Fдолжна принимать значения как меньшие, так и большие чем -1. Проверим это. Перепишем исходное функциональное уравнение так:

Если F принимает значения либо только большие -1, либо только меньшие -1, то F (x + 1) + 1 и F (x) + 1 имеют одинаковые знаки, и поэтому из (9) находим, что F (x) > 0 для любого x. Но тогда левая часть в первоначальном виде функционального уравнения больше нуля, а правая равна 0. Пришли к противоречию. Итак, функция F принимает значения, большие и меньшие -1, но не может быть равна -1, что для непрерывной функции не выполняется (теорема Больцано-Коши). Значит, F – разрывна.

Пример 3. Найти все непрерывные функции f (x), удовлетворяющие соотношению f (2 x) = f (x) для любого x.

Решение. В данное функциональное уравнение вместо x подставимx/2 (это можно сделать, поскольку функция f определена для всех x), получим f(x) = f (x /2). Аналогичную операцию проделаем ещё несколько раз:

Таким образом,

для любого натурального n. Используя непрерывность функции в точке 0, имеем:

Получили f (x) = c, где c = f (0), т. е. функция f является константой.

Поиск по сайту: