Глава 2. Решение функциональных уравнений методом разделения переменных

Метод разделения переменных – это метод, хорошо известный в теории дифференциальных уравнений. Сущность его состоит в следующем. Пусть Р и Q некоторые функции одной переменной. Если равенство Р (у) = Q (x), в котором левая часть зависит только от переменной y, а правая – только от переменной x, выполняется для всех , то существует некоторая постоянная с такая, что Р (у) = Q (x) = с для всех х и у из множества G. Этот метод разделения переменных можно адаптировать к решению некоторых функциональных уравнений, содержащих свободные переменные. Универсальных рекомендаций по применению метода разделения переменных при решении функциональных уравнений нет, поэтому я проиллюстрирую этот метод, решая конкретные задачи.

Задача 1. Найдите все пары числовых функций f (x) и g (x), определенных на множестве всех действительных чисел и таких, что для любых х и у выполня­ется равенство

.

Решение. Разделим переменные, со­брав все выражения, зависящие от у в ле­вой части равенства, а от х - в правой:

.

Это равенство будет выполняться для всех действительных х и у только при условии, что обе его части будут постоян­ными:

.

Из последней системы находим функ­ции f (x) и g (x):

.

Несложно убедиться в том, что эти функции удовлетворяют заданному ра­венству при произвольной постоянной с.

Задача 2. Пусть а и b, а ≠ b − по­ложительные числа, отличные от 1. Най­дите все функции такие, что равенство

(1)

выполняется при любых действительных х и у.

Решение. Левая часть равенства сим­метрична относительно переменных:

f (x + y) = f (y + x).

Так как , то приходим к равенству

, которое перепишем следующим образом:

.

Если х ≠ 0 и у ≠ 0, то, разделяя пере­менные, получим равенство отношений .

В этом равенстве левая часть зависит только от переменной у, а правая − толь­ко от переменной х. Так как х и у из­меняются независимо друг от друга, то это возможно только при условии, что левая часть не зависит от у, а правая — от х, то есть, они постоянные:

, где с – некоторое число.

Отсюда имеем: , если х ≠ 0. Чтобы найти значение функции f в точке 0, положим в равенстве (1) х = у = 0 и получим, что f (0) = 0. Посколь­ку , если х = 0, то выражение, , где с – некоторая постоянная, определяет функцию f на множестве всех действительных чисел.

Определим, при каких значениях с функция будет решением функционального уравнения (1). Так как в равенствах

правые части равны при любом значении постоянной с, то левые части также рав­ны при соответствующих значениях с. Следовательно, все функции , где c - произвольная постоянная, удо­влетворяют равенству (1).

Задача 3. Найдите все пары многочле­нов f (x) и g (x) таких, что для всех х и у выполняется равенство

f (xy)= f (x)+ g (x) f (y). (2)

Решение. Отметим, что тривиальные случаи, когда один из многочленов является многочленом нулевой степени, исследуются элементарно, поэтому рас­сматривать их не будем. Остановимся на определении других пар многочленов.

Из очевидного равенства f (xy) = f(yx) вытекает следующее равенство:

f (x)+ g (x) f (y)= f (y)+ g (y) f (x), которое запишем так:

f (x)(1- g (y))= f (y)(1- g (x)). (3)

Если g (t) ≠1 для всех t, то , где с ≠ 0 – некоторая постоянная. Поэтому f (x) = (1 – g (x)) c. Для определения многоч­лена g (x) возвратимся к равенству (2), которое запишем с учетом определения функции f (x):

(1 – g (xy)) c = (1 – g (x)) c + g (x)(1 - g (y)) c Û g (xy)= g (x) g (y).

Таким образом, функция f (x) = (1 – g (x)) c будет удовлетворять равенству (2) при произвольной постоянной с, если многоч­лен g(x) будет удовлетворять равенству g (xy) = g (x) g (y). Полученное равенство является известным функциональным уравнением, характеризующим одно из основных свойств степенной функции. Его решение g (x) = xn в классе непрерывных функций принадлежит известному французскому математику Коши. На множестве многоч­ленов эту функцию можно найти методом неопределенных коэффициентов.

Итак, имеем пары многочленов g (x) = хn и f (x) - (1 - хn) с, где , удовлетворяющих равенству (2) для всех х ≠ 1 при любых n и х ≠ −1, если n -четное.

Определим те значения а переменной х, для которых g (a)=1. Из равенства (3) при произвольном значении у и х = а получим равенство f (а)(1 − g (y))=0. Так как согласно договоренности g не является многочленом нулевой степени, то равенство может выполняться только тогда, когда f (a)=0. Возвратимся к равенству (2): если y = a, то получаем равенство f (ax)= f (x), из которого вытекает, что a =1 для произвольного многочлена, или a = −1 для многочленов, содержащих только четные степени переменных. Поэтому g (1)=1 для всех и g (−1)=1 для четных n, что согласовывается с построением многочлена g.

Следовательно, f (x)=(1− xn) c =0 и g (x)= xn, где n – натуральное число и c ≠0 – произвольное действительное число, и есть искомые многочлены. Чтобы получить все пары многочленов, удовлетворяющих равенству (2), к ним нужно присоединить еще и такие пары: f (x)=0, g (x) – произвольный многочлен и f (x)= c, g (x)=0.

Глава 3. Уравнения вида f(u) + f(v) = f(u ₁ ) + f(v ₁ ).