АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Глава 2. Решение функциональных уравнений методом разделения переменных

Читайте также:
  1. I. ГЛАВА ПАРНЫХ СТРОФ
  2. I. Решение логических задач средствами алгебры логики
  3. I. Составление дифференциальных уравнений и определение передаточных функций
  4. I.5.4. Решение задачи линейного программирования
  5. I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
  6. II этап: Решение задачи на ЭВМ в среде MS Excel
  7. II этап: Решение задачи на ЭВМ в среде MS Excel
  8. II этап: Решение задачи на ЭВМ в среде MS Excel
  9. II этап: Решение задачи на ЭВМ средствами пакета Excel
  10. II. Глава о духовной практике
  11. II. Решение логических задач табличным способом
  12. II.1.3. Решение транспортной задачи в QSB

Метод разделения переменных – это метод, хорошо известный в теории дифференциальных уравнений. Сущность его состоит в следующем. Пусть Р и Q некоторые функции одной переменной. Если равенство Р (у) = Q (x), в котором левая часть зависит только от переменной y, а правая – только от переменной x, выполняется для всех , то существует некоторая постоянная с такая, что Р (у) = Q (x) = с для всех х и у из множества G. Этот метод разделения переменных можно адаптировать к решению некоторых функциональных уравнений, содержащих свободные переменные. Универсальных рекомендаций по применению метода разделения переменных при решении функциональных уравнений нет, поэтому я проиллюстрирую этот метод, решая конкретные задачи.

 

Задача 1. Найдите все пары числовых функций f (x) и g (x), определенных на множестве всех действительных чисел и таких, что для любых х и у выполня­ется равенство

.

Решение. Разделим переменные, со­брав все выражения, зависящие от у в ле­вой части равенства, а от х - в правой:

.

Это равенство будет выполняться для всех действительных х и у только при условии, что обе его части будут постоян­ными:

.

Из последней системы находим функ­ции f (x) и g (x):

.

Несложно убедиться в том, что эти функции удовлетворяют заданному ра­венству при произвольной постоянной с.

 

Задача 2. Пусть а и b, аb − по­ложительные числа, отличные от 1. Най­дите все функции такие, что равенство

(1)

выполняется при любых действительных х и у.

Решение. Левая часть равенства сим­метрична относительно переменных:

f (x + y) = f (y + x).

Так как , то приходим к равенству

, которое перепишем следующим образом:

.

Если х ≠ 0 и у ≠ 0, то, разделяя пере­менные, получим равенство отношений .

В этом равенстве левая часть зависит только от переменной у, а правая − толь­ко от переменной х. Так как х и у из­меняются независимо друг от друга, то это возможно только при условии, что левая часть не зависит от у, а правая — от х, то есть, они постоянные:

, где с – некоторое число.

Отсюда имеем: , если х ≠ 0. Чтобы найти значение функции f в точке 0, положим в равенстве (1) х = у = 0 и получим, что f (0) = 0. Посколь­ку , если х = 0, то выражение, , где с – некоторая постоянная, определяет функцию f на множестве всех действительных чисел.

Определим, при каких значениях с функция будет решением функционального уравнения (1). Так как в равенствах

правые части равны при любом значении постоянной с, то левые части также рав­ны при соответствующих значениях с. Следовательно, все функции , где c - произвольная постоянная, удо­влетворяют равенству (1).

 

Задача 3. Найдите все пары многочле­нов f (x) и g (x) таких, что для всех х и у выполняется равенство

f (xy)= f (x)+ g (x) f (y). (2)

Решение. Отметим, что тривиальные случаи, когда один из многочленов является многочленом нулевой степени, исследуются элементарно, поэтому рас­сматривать их не будем. Остановимся на определении других пар многочленов.

Из очевидного равенства f (xy) = f(yx) вытекает следующее равенство:

f (x)+ g (x) f (y)= f (y)+ g (y) f (x), которое запишем так:

f (x)(1- g (y))= f (y)(1- g (x)). (3)

Если g (t) ≠1 для всех t, то , где с ≠ 0 – некоторая постоянная. Поэтому f (x) = (1 – g (x)) c. Для определения многоч­лена g (x) возвратимся к равенству (2), которое запишем с учетом определения функции f (x):

(1 – g (xy)) c = (1 – g (x)) c + g (x)(1 - g (y)) c Û g (xy)= g (x) g (y).

Таким образом, функция f (x) = (1 – g (x)) c будет удовлетворять равенству (2) при произвольной постоянной с, если многоч­лен g(x) будет удовлетворять равенству g (xy) = g (x) g (y). Полученное равенство является известным функциональным уравнением, характеризующим одно из основных свойств степенной функции. Его решение g (x) = xn в классе непрерывных функций принадлежит известному французскому математику Коши. На множестве многоч­ленов эту функцию можно найти методом неопределенных коэффициентов.

Итак, имеем пары многочленов g (x) = хn и f (x) - (1 - хn) с, где , удовлетворяющих равенству (2) для всех х ≠ 1 при любых n и х ≠ −1, если n -четное.

Определим те значения а переменной х, для которых g (a)=1. Из равенства (3) при произвольном значении у и х = а получим равенство f (а)(1 − g (y))=0. Так как согласно договоренности g не является многочленом нулевой степени, то равенство может выполняться только тогда, когда f (a)=0. Возвратимся к равенству (2): если y = a, то получаем равенство f (ax)= f (x), из которого вытекает, что a =1 для произвольного многочлена, или a = −1 для многочленов, содержащих только четные степени переменных. Поэтому g (1)=1 для всех и g (−1)=1 для четных n, что согласовывается с построением многочлена g.

Следовательно, f (x)=(1− xn) c =0 и g (x)= xn, где n – натуральное число и c ≠0 – произвольное действительное число, и есть искомые многочлены. Чтобы получить все пары многочленов, удовлетворяющих равенству (2), к ним нужно присоединить еще и такие пары: f (x)=0, g (x) – произвольный многочлен и f (x)= c, g (x)=0.


Глава 3. Уравнения вида f(u) + f(v) = f(u 1 ) + f(v 1 ).

Уравнения вида f(u) + f(v) = f(u 1 ) + f(v 1 ), для которых выполняется условие вида u+v=и 1 +v 1, достаточно часто встречаются среди конкурсных и олимпиадных заданий, при этом в методической литературе недостаточно вни­мания уделяется рассмотрению приема решения, основанного на понятии и свойствах выпуклой функции.

Пусть функция f(х) определена на промежутке X. Она называется строго выпуклой вниз (вверх) на X, если для любых u и v из X, u ¹v и 0 < λ < 1 справедливо неравенство

f(λu + ( 1 − λ)v)>λf(u) + ( 1 − λ)f(v).

Геометрически это означает, что любая точка хор­ды ВС (т.е. отрезка с концами в точках В(u;f(u)) и C(v;f(v)), отличная от точек В и С, лежит выше (ниже) точки А графика функции f(х), соответствующей тому же значению аргумента (см. рисунок ниже). Отметим также, что условие u+v=и1+v1 означа­ет, что сегменты числовой прямой с концами в точках u, v и u 1, v 1 имеют общую середину. Далее функции, строго выпуклые вверх и вниз, будем называть строго выпуклыми.

 

Справедливо следующее утверждение.

 

Теорема 1. Пусть функция f(x) является строго выпуклой вниз на промежутке X, , u<u 1 <v 1 <v и u+v = и 1 +v 1. Тогда справедливо неравенство

f(u 1 )+f(v 1 )<f(u)+f(v).

Из теоремы 1 вытекает следующее утверждение, касающееся уравнения f(u)+f(v)=f(u 1 ) + f(v 1 ). (1)

 

Теорема 2. Если функция f(х) является строго выпуклой на промежутке X, функции

u=u(х), v=v(x), u 1 = u 1 (х), v 1 =v 1 (x)

такие, что при всех х из ОДЗ уравнения (1) их значения u (х), v (x), u 1(x), v 1(x) содержатся в X и выполнено условие u+v=и1+v1 (2), то уравнение (1) на ОДЗ равносильно совокупности уравнений

u(х) = u1(х), u(х) = v1(x). (3)

 

Задача 1. Решите уравнение

Решение. ОДЗ уравнения естьотрезок 15≤ x ≤17. Положим

u=17 x, v=x+15,

тогда u + v = 32= , d = 4 = 2 , получаем, что выполнены все условия теоремы 2 и, значит, уравнение на ОДЗ равносильно уравнению

x + 15=16

x = 1

Ответ: x = 1.

Задача 2. Решите уравнение .

Решение. ОДЗ уравнения есть отрезок 77 ≤ x ≤ 20.

Положим

u = 77 + x, v = 20 − x,

тогда u + v = 97 = 81 + 16 = 34 + 24.

Поэтому возьмем u 1 = 34, v 1 = 24 и из теоремы 2 следует, что уравнение на ОДЗ равносильно совокупности двух уравнений

77 + x = 81, 77 + x = 16.

Отсюда получаем, что x = 4, x = 61.

Ответ: x = 4, x = 61.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.013 сек.)