АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Глава 1. Теоремы о функциональных уравнениях

Читайте также:
  1. I. ГЛАВА ПАРНЫХ СТРОФ
  2. II. Глава о духовной практике
  3. III. Глава о необычных способностях.
  4. IV. Глава об Освобождении.
  5. IV. Глава подразделения по стране
  6. XI. ГЛАВА О СТАРОСТИ
  7. XIV. ГЛАВА О ПРОСВЕТЛЕННОМ
  8. XVIII. ГЛАВА О СКВЕРНЕ
  9. XXIV. ГЛАВА О ЖЕЛАНИИ
  10. XXV. ГЛАВА О БХИКШУ
  11. XXVI. ГЛАВА О БРАХМАНАХ
  12. Аб Глава II ,

n раз
Теорема 1. Корни уравнения являются корнями уравнения .

n раз
n-1 раз
Доказательство. Пусть – корень уравнения , т.е. . Тогда справедливы неравенства , , …, .

 

Отсюда следует, что , т.е. является корнем уравнения .

Теорема 2. Если – возрастающая функция на отрезке и , то на данном отрезке уравнения и равносильны.

Доказательство. Пусть – корень уравнения , т.е. . Предположим, что не является корнем уравнения , т.е. . Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что . Тогда в силу возрастания функции справедливы неравенства .Так как , то из приведенных выше неравенств следует . Таким образом, получили ложное неравенство. А это значит, что .

Отсюда и из теоремы 1 следует справедливость теоремы 2.

Следствие 1. Если функция возрастает для любого , то уравнения и равносильны.

Следствие 2. Если функция возрастает на своей области определения, то уравнения и равносильны.

Теорема 3. Если – убывающая функция на отрезке , n – нечетное и , то на данном отрезке уравнения и равносильны.

n раз
Доказательство. Пусть является корнем уравнения , т.е. .

 

Предположим, что не является корнем уравнения , т.е. . Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что . Тогда в силу убывания функции на отрезке получаем неравенства , , и т.д.

n-1 раз
n раз
Так как n – нечетное, то .

 

n раз
Поскольку , то из последнего неравенства получаем

 

n-1 раз
. Так как – убывающая функция, то

 

n раз
, т.е. .

 

Получили противоречие тому, что по предположению . Следовательно, . Отсюда с учетом теоремы 1, следует справедливость теоремы 3.

Следствие 3. Если функция убывает для любого и – нечетное, то уравнения и равносильны.

Следствие 4. Если функция убывает на своей области определения и – нечетное, то уравнения и равносильны.

Теорема 4. Если – возрастающая (или убывающая) функция на области допустимых значений уравнения (, , – некоторые функции и ) и равносильны.

Доказательство. 1) Пусть – корень уравнения , т.е. . Предположим, что не является корнем уравнения , т.е. . Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что . Отсюда в зависимости от того, какой является функция на области допустимых значений уравнения возрастающей или убывающей, получаем неравенство или , соответственно. В каждом из двух случаев имеем ложное неравенство. Значит, .

2) Пусть – корень уравнения , т.е. . Отсюда следует .

Следствие 5. Если – возрастающая (или убывающая) функция на области значений и , то уравнения и равносильны.

Теорема 5. Если четная функция определена на отрезке и возрастает (или убывает) при , то на данном отрезке уравнение равносильно совокупности уравнений и при условии, что и .

Доказательство проводится по аналогии с доказательством теоремы 4. При этом используется четность функции , т.е. если , то .

Анализ функции на монотонность удобно осуществлять с помощью производной: если функция дифференцируема отрезке и (), то функция является возрастающей убывающей на данном отрезке.

Задача 1. Решите уравнение , где квадратный корень берется n раз (n ≥ 2).

n раз
Решение. Из данного уравнения следует, что x ≥ 2. Введем функцию . Тогда уравнение принимает вид функционального уравнения (1). Так как функция возрастает при x ≥ 0,

 

то уравнение (1) равносильно уравнению x = f (x), т.е. уравнение (1) равносильно уравнению , которое имеет единственный положительный корень .

Ответ: .

Задача 2. Решить уравнение

x 10 – (12 x +13)5 = 23sin(12 x + 13) – 23sin x 2

Решение. Приведем исходное уравнение к виду

x 10 + 23sin x 2 = (12 x +13)5 + 23sin(12 x + 13)

Рассмотрим непрерывную функцию f (t) = t 5 + 23sin t. Данная функция определенна для любого аргумента, нечетная, т.к. f (t) = (– t 5 + 23sin(– t) = – (t 5+23sin t) = – f (t). Найдем ее производную: . Покажем, что на всей области определения.

При :

, а при :

.

Следовательно, f (t) возрастает на всей числовой прямой. Значит, каждое свое значение функция принимает в точности при одном значении аргумента, а стало быть, уравнение f (t 1) = f (t 2) равносильно уравнению t 1 = t 2. Записав исходное уравнение в виде

. Ответ -1; 13.

Задача 3. Решить уравнение

87cos(x 2) + (8 – 6 x)4 = x 8 + 87cos(8 – 6 x).

Решение. Приведем исходное уравнение к виду

x 8 – 87cos(x 2) = (8 – 6 x)4 – 87cos(8 – 6 x).

Рассмотрим непрерывную функцию f (t) = t 4 – 87cos t. Данная функция определена для любого значения аргумента, четная, т.к. f(– t) = f (t). Найдем ее производную: .

При : , а при :

.

Таким образом, при , следовательно, f (t) возрастает на промежутке . Значит, каждое свое значение из множества значения E(f), кроме f (0), функция принимает в двух симметричных относительно t = 0 точках, а стало быть, уравнение f (t 1) = f (t 2) равносильно уравнению . Записав исходное уравнение в виде f(x2)=f(8-6x), получим

Ответ. , , , .


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.009 сек.)