Пример

;

~ .

, .

.

Теперь покажем, что любое подпространство пространства R может быть получено как решение некоторой СОЛУ.

Теорема 6. Всякое подпространство размерности в пространстве R с данным базисом является подпространством решений некоторой системы линейных однородных уравнений ранга .

Доказательство. Пусть в R задан базис и подпространство . Возьмем в базис дополним его до базиса в R : . Каждый вектор R можно разложить по этому базису

,

причем , т.к. – линейная оболочка . Уравнения , …, определяют в базисе . Известно, что два базиса связаны формулами: , где – матрица перехода, . Тогда – формула связи координат вектора в различных базисах. Следовательно, и система уравнений на имеет вид

, (12)

Т.к. строки матрицы линейно независимы ранг системы (12) равен . ч.т.д.

8^о. Системы линейных неоднородных уравнений

Рассмотрим систему неоднородных уравнений

(13)

Пусть . Пусть – решение этой системы, т.е.

(14)

Вычитая из (13) выражение (14), получаем

.

Т.о., является решением соответствующего однородного уравнения.

Пусть – фундаментальная система решений однородного уравнения. Тогда любое может быть представлено в виде:

.

Тогда получаем

(15)

Если – частное решение уравнения (13), то формулы (15) дают общее решение. Из (15) следует теорема.

Теорема 7. Общее решение СЛНУ (13) представляется в виде суммы произвольного частного решения этой системы и общего решения соответствующей ей однородной системы.

Следствие 1. Разность двух произвольных решений СЛНУ является решением соответствующей СЛОУ.

Следствие 2. Сумма любого частного решения СЛНУ с любым частным решением соответствующей СЛОУ дает частное решение СЛНУ.

Замечание. В формуле (7) вектор – частное решение СЛНУ, а вектора – частные решения СЛОУ.

Поиск по сайту: