 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Типовой пример. Найти частное решение дифференциального уравнения при следующих начальных условиях
Найти частное решение дифференциального уравнения при следующих начальных условиях.
.
Решение. Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию 
и ее производную 
в первой степени и не содержит их произведений.
Применяем подстановку 
, где 
и 
некоторые неизвестные функции аргумента 
. Если , то 
и данное уравнение примет вид 
,
или
. (1)
Так как искомая функция 
представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, т.е. выберем функцию так, чтобы имело место равенство
=0 (2)
При таком выборе функции уравнение (1) примет вид
. (3)
Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно и . Решим это уравнение:
=0; 
; 
;
; 
, 
= 
.
Чтобы равенство (2) имело место, достаточно найти одно какое либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению..Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С=0. Подставив в (3) найденное выражение для ,получим:
;
;
;
;
Интегрируя, получаем 
. Тогда 
- общее решение данного уравнения
Задание 2. Найти частное решение дифференциального уравнения при следующих начальных условиях.
1. 
2. 
;
3. 
; 
4. 
;
5. 
6. 
7. 
8. 
;
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
;
19 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Типовой пример
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
=0;
Решение: Это уравнение в полных дифференциалах, так как
и следовательно, уравнение имеет вид 
Здесь 
и 
;
отсюда
Дифференцируя 
по , найдем 
(по условию);
Отсюда 
и 
. Окончательно получим 
, следовательно 
есть искомый общий интеграл данного уравнения.
Задание 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
dx + 
24. 
25. 
26. 
27. 
28 
30. 
Типовой пример
Решить уравнение:
,
Решение: Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно функцию . Положим 
, где 
- некоторая функция аргумента . Если , то 
и данное уравнение примет вид 
, Мы получили уравнение первого прядка относительно переменных и . Решим это уравнение.
; 
;
. Теперь решаем уравнение первого порядка.
.
= 
Пример2:Найти частное решение уравнения
при условии 
, 
при 
.
Решение: Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента x. Положим , где - некоторая функция переменной . Если , то 
= 
. Тогда данное уравнение примет вид
;
;
,
Находим 
из условия 
при
, или 
,
, 
, 
.
Следовательно,
,
,
,
,
.
Полагая , получим 
, откуда
или 
Задание 4. Найти общее решение дифференциального уравнения.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
,
23. 
,
24. 
,
25. 
26 
27. 
28. 
29. 
30. 
.
Поиск по сайту: