Задача Коши

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Обыкновенное дифференциальное уравнение порядка n имеет вид:

(7.1)

где ⁾- производные первого, второго,..., n -го порядков от искомой функции y. Его решением является семейство функций

y = y (x, a ₁, a ₂,..., a _n),

где a ₁, a ₂,..., a _n - произвольные константы.

Например, простейшее дифференциальное уравнение имеет решение y = a e^x (рис.7.1). Каждому какому угодно значению параметра a соответствует своя функция, и все эти функции удовлетворяют исходному уравнению.

Рис.7.1. Семейство кривых - решение дифференциального уравнения y ' = y

Рис.7.2. Результат численного решения задачи Коши

Если в дополнение к уравнению (7.1) задать конкретные значения

для некоторого значения x ₀ в виде

; ; ;...; ,

(7.1’)

то тем самым определяется конкретный набор a ₁, a ₂,..., a _n и, следовательно, единственная конкретная функция y (x, a ₁, a ₂,..., a _n) из всего семейства решений.

Условия (7.1') называются начальными условиями, а вся задача, включающая дифференциальное уравнение (7.1) и начальные условия (7.1'), называется "задачей Коши".

К сожалению, класс дифференциальных уравнений, позволяющих аналитическими методами получить решение, довольно узок. Например, уравнение y ' = x ² + y ² не имеет аналитического решения. В большинстве практических задач функция F или коэффициенты, входящие в нее, могут содержать существенные нелинейности или даже задаваться в виде таблиц экспериментальных данных, и тогда аналитическое решение задачи Коши становится невозможным.

При численном решении задачи Коши необходимо задаваться границами x _нач, x _кон изменения аргумента x и величиной h, являющейся шагом его изменения, который определяет дискретность вычисления значений функции y = y (x).

Решение, полученное численным методом, есть таблица соответствующих значений (x _i, y _i), i = 0,1,2,..., n, где x ₀= x _нач, x _n= x _кон; x _i+1 = x _i + h (см.рис.7.2).

Поскольку численное решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, то оно в течение многих лет было объектом пристального внимания и число разработанных для него методов очень велико. Здесь мы остановимся на следующих двух группах методов решения задачи Коши.

1. Одношаговые методы, в которых для нахождения каждой новой точки на кривой y = y (x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге. Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге-Кутта.

2. Методы прогноза и коррекции (многошаговые методы), в которых для отыскания каждой следующей точки кривой y = y (x) требуется информация более чем об одной из предыдущих точек. К этой группе относятся методы Адамса, Гира и т.д.

Поиск по сайту: