 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Метод Адамса
Суть метода Адамса состоит в следующем: одним из одношаговых методов, например, методом Рунге-Кутта четвертого порядка строится искомая интегральная кривая y=y (x) в нескольких точках x 1 ,x 2 ,...,x n, а затем к ним применяются методы аппроксимации для получения решений в новых точках, лежащих как внутри промежутка [ x 1 ,x n] - (интерполяция), так и за его пределами (экстраполяция).
Рассмотрим четырехточечный вариант метода Адамса для задачи Коши (7.2),(7.2').
С помощью любого из одношаговых методов вычислим решения y 1 ,y 2 ,y 3 заданного уравнения в точках x 1 ,x 2 ,x 3. Правая часть (7.2) - функция f (x, y) на интегральной кривой, соответствующей начальному условию (x 0 ,y 0), будет, очевидно, функцией только одного аргумента x: f (x, y) = f (x, y (x)) = f (x), значения которой в рассматриваемых точках обозначим f 0, f 1, f 2, f 3 (f 0 - значение f (x, y) в точке (x 0 ,y 0), заданной начальными условиями (7.2’)). В окрестности узлов x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 функцию f (x) приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона
| f (x)= f 0+ f 01(x - x 0)+ f 012(x - x 0)(x - x 1)+ f 0123(x - x 0)(x - x 1)(x - x 2), | (7.20) |
где f 01, f 012, f 0123 - разделенные разности.
Представим искомое решение y 4 в точке x 4= x 3+ h в виде тейлоровского разложения около точки x 3:
 ,
| (7.21) |
где 
- производные по x от правой части исходного уравнения в точке x 3.
Дифференцируя полином (7.20) получим выражения для производных:
 (x)=
| f 01+ f 012(x - x 0+ x - x 1)+ f 0123[(x - x 0)(x - x 1)+(x - x 0)(x - x 2)+ (x - x 1) (x - x 2)]= = f 01+ f 012(2 x - x 0- x 1)+ f 0123[3 x 2-2 x (x 0+ x 1+ x 2)+ x 0 x 1+ x 0 x 2+ x 1 x 2]; |
 (x)=
| 2 f 012+2 f 0123(3 x - x 0- x 1- x 2); |
 (x)=
| 6 f 0123. |
Эти соотношения при x = x 3 в случае равноотстоящих узлов принимяют вид:
 =(2 f 0+9 f 1-18 f 2+119 f 3) / h;
| |
 =(- f 0+4 f 1-5 f 2+2 f 3) / h 2;
| (7.22) |
 =(- f 0+3 f 1-3 f 2+ f 3) / h 3.
|
Подставляя производные (7.22) в разложение (7.21) получим экстраполяционную формулу Адамса:
| (7.23) |
имеющую четвертый порядок точности.
Изменяя количество членов, учитываемых в разложении (7.21), можно получить формулы Адамса различных порядков.
Остаточный член формулы (7.23) равен
.
Значительная величина коэффициента (
) в этом остаточном члене обусловлена тем, что точка x 4 лежит вне интервала расположения узлов, по которым построен полином Ньютона. Т.е. здесь мы имеем дело с экстраполяцией, погрешность которой всегда больше, чем погрешность интерполяции. С целью уменьшения погрешности можно получить аналогичным способом, но для узлов x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 интерполяционную формулу Адамса:
| (7.24) |
Эта формула является неявной, т.к. искомая величина y 4 необходима для вычисления значения функции f 4= f (x 4, y 4) правой части дифференциального уравнения. Выражение (7.24) можно рассматривать как нелинейное уравнение относительно неизвестной y 4 и решать его одним из методов решения трансцендентных уравнений. Обычно здесь используется метод простых итераций, т.к. уравнение (7.24) уже имеет необходимую для этого метода форму 
. При этом в качестве начального приближения берется значение y 4, определенное по экстраполяционной формуле (7.23).
Формулу (7.23) называют формулой прогноза, а формулу (7.24) - формулой коррекции.
Эти две формулы без труда переносятся на дифференциальные уравнения высоких порядков, записанные в форме Коши.
Поиск по сайту: