 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Решение с помощью рядов Тейлора
Предположим, что нами уже найдено приближенное решение уравнения (7.2) для точек x 0, x 1, x 2,..., x m. При этом последовательные значения x i расположены на расстоянии h друг от друга, т.е. x i+1 = x i + h.
Разложим искомую функцию y (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x m:
,
где 
- значение j -й производной от функции y (x), вычисленное в точке x = xm.
Найдем приближенное значение ym +1 для точки xm +1, подставив в это разложение вместо x величину xm +1:
| (7.3) |
Чем больше членов этого ряда мы возьмем для вычисления, тем точнее будет решение.
Из (7.2) имеем: 
. Дифференцируя обе части (7.2) по x и учитывая, что y есть функция от x, получаем:
или для сокращения записи: 
, где f x, f y - частные производные от функции 
по x и y соответственно.
Тогда выражение (7.3) приобретает вид:
| (7.4) |
где O (h 3) означает, что в следующие (отброшенные) члены ряда значение h входит в степени не ниже третьей.
Таким образом, если для решения уравнения (7.2) будет использована формула (7.4), то погрешность усечения будет приблизительно равна Ch 3, где C - некоторая постоянная, не зависящая от h.
Решение дифференциального уравнения данным способом является одноступенчатым, так как для вычисления каждого ym +1 требуется информация только об одной предыдущей точке (xm, ym).
С практической точки зрения трудность использования этого метода заключается в необходимости нахождения и вычисления частных производных f x, f y, что в некоторых ситуациях бывает просто невозможно. Кроме того, если попытаться получить лучшее приближение, то необходимо вычислять уже третью производную:
.
Производные более высоких порядков становятся еще более сложными. На практике этот метод не используется, а здесь он приведен как основа для вывода других методов и оценки их погрешностей.
Поиск по сайту: