АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Усовершенствованный метод Эйлера

Читайте также:
  1. F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции .
  2. FAST (Методика быстрого анализа решения)
  3. I этап Подготовка к развитию грудобрюшного типа дыхания по традиционной методике
  4. I. 2.1. Графический метод решения задачи ЛП
  5. I. 3.2. Двойственный симплекс-метод.
  6. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  7. I. Метод рассмотрения остатков от деления.
  8. I. Методические основы
  9. I. Методические основы оценки эффективности инвестиционных проектов
  10. I. Организационно-методический раздел
  11. I. Предмет и метод теоретической экономики
  12. I. Что изучает экономика. Предмет и метод экономики.

Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улучшив аппроксимацию производной. Используются два способа такой аппроксимации. Первый называется «усовершенствованным» методом Эйлера, второй - «модифицированным» методом Эйлера.

Геометрическая интерпретация усовершенствованного метода приведена на рис.7.6.

Рис.7.6. Усовершенствованный метод Эйлера

Прямая L 1 есть касательная к истинной кривой y = y (x) в точке (x m, y m). Ее наклон к оси OX равен углу , для которого

,

или в силу (7.2):

.

Прямая L 2 есть касательная к решению уравнения (7.2) в точке , являющейся пересечением L 1 c прямой x = xm +1. Наклон L 2 равен углу , для которого

.

Прямая проходит через точку , а ее угол наклона равен , для которого

или .

Прямая L параллельна и проходит через точку (xm, ym), а ее пересечение с x = xm +1 как раз и определяет окончательное значение ym +1.

Данное геометрическое построение в аналитическом виде выглядит следующим образом: сначала вычисляется значение функции y(x) в точке xm +1 по методу Эйлера:

, (7.7)

а затем оно используется для вычисления , т.е. приближенного значения производной в конце интервала (x m, x m+1):

.

Вычислив среднее между этим значением производной и ее значением f (xm, ym) в начале интервала, найдем более точное значение ym +1:

.   (7.8)

Формула (7.8) представляет собой вычислительный алгоритм усовершенствованного метода Эйлера.

Принцип, на котором основан усовершенствованный метод Эйлера, можно пояснить

и иначе. Для этого в разложении (7.3) функции в ряд Тейлора в окрестности точки xm сохраним член, содержащий h 2, и отбросим члены более высоких порядков:

  (7.9)

Однако, чтобы сохранить член с h 2 надо знать вторую производную y" (xm). Ее можно аппроксимировать конечной разностью:

  (7.10)

Подставив это выражение в ряд Тейлора (7.9) и заменяя его приближением по методу Эйлера, найдем

    (7.11)

что совпадает с полученным в (7.8) выражением.

Этот метод является методом второго порядка, так как в нем используется член ряда Тейлора, содержащий h 2. Ошибка метода на каждом шаге имеет порядок h 3.

На рис.7.7 приведена блок-схема алгоритма усовершенствованного метода Эйлера.

Рис.7.7. Алгоритм усовершенствованного метода Эйлера

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)