Общие сведения. Требуется найти функцию , удовлетворяющую уравнению

Требуется найти функцию , удовлетворяющую уравнению

(8.5)

и принимающую при х=х₀ значение у₀ у(х₀)=у₀

Для решения будем использовать разностные методы. Введем последовательности точек х₀, х₁,…, х_к и шаги h_i=x_i+1-x_i (i=0,1,…,k-1).

В каждой точке x_i, называющейся узлом, вместо значений функции y(x_i) вводятся значения y_i, аппроксимирующие точное решение на данном множестве точек. Функцию y, заданную в виде таблицы {x_i,y_i} (i=0,1,…,k) называют сеточной функцией.

Далее, заменяя значение производной в уравнении (8.5) отношением конечных разностей, осуществляем переход от дифференциального уравнения (8.5) к разностной схеме относительно сеточной функции

y_i+1=Ф(x_i,h_i,y_i+1,y_i,…,y_i-r+1), i=0,1,…,k-1, (8.6)

y(x₀)=y₀

Здесь разностное уравнение (8.6) записано в общем виде, а конкретное выражение его правой части зависит от способа аппроксимации производной. Для каждого численного метода получается свой вид уравнения (8.6).

На основании анализа вида разностного уравнения (8.6) можно провести некоторую классификацию численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Методы бывают

- явными, если в правой части (8.6) отсутствует y_i+1, то есть значение y_i+1 явно вычисляется по r предыдущим значениям y_i, y_i-1,…, y_i-r+1. При этом, если r=1, получается одношаговый метод, r=2 – двухшаговый, в общем случае r- шаговый или многошаговый при r≥2.

- неявными, если в правую часть (8.6) входит искомое значение y_i+1. В этом случае (8.6) относительно y_i+1 приходится решать итерационными методами.

Поиск по сайту: