АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Многошаговые методы

Читайте также:
  1. II. Методы непрямого остеосинтеза.
  2. II. Рыночные методы.
  3. III. Методы искусственной физико-химической детоксикации.
  4. III. Параметрические методы.
  5. IV. Современные методы синтеза неорганических материалов с заданной структурой
  6. А. Механические методы
  7. Автоматизированные методы
  8. Автоматизированные методы анализа устной речи
  9. Адаптивные методы прогнозирования
  10. Административно-правовые методы государственного управления
  11. Административно-правовые методы государственного управления
  12. АДМИНИСТРАТИВНО-ПРАВОВЫЕ МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ

могут быть построены следующим образом. Запишем исходное дифференциальное уравнение в виде

Проинтегрируем обе части этого уравнения по х на отрезке [xi,xi+1]. Интеграл от левой части легко вычисляется

Для вычисления интеграла от правой части уравнения строится сначала интерполяционный многочлен степени r-1 Pr-1(x) для аппроксимации функции f(x,y) на отрезке [xi,xi+1] по значениям f(xi-r+1,yi-r+1), f(xi-r+2,yi-r+2),…,f(xi,yi). После этого можно написать

Таким образом, получаем (8.15)

На основе формулы (8.15) можно строить различные многошаговые методы любого порядка точности. Порядок точности зависит от степени интерполяционного многочлена , для построения которого используется значения сеточной функции yi, yi-1,…, yi-r+1, вычисленные на r предыдущих шагах.

Широко распространенным семейством многошаговых методов являются методы Адамса (Адамса-Башфорта). Простейший из них, получающийся при

r=1 yi+1= yi+hf(xi,yi)

совпадает с рассмотренным ранее методом Эйлера первого порядка точности. В практических расчетах используют варианты

при r=2 (двухшаговый метод) (8.16) .

При r=3 (трехшаговый метод) (8.17)

При r=4 (четырехшаговый метод) (8.18)

,

являющийся наиболее используемым.

При r=5 (пятишаговый метод) (8.19)

Для того, чтобы воспользоваться этими многошаговыми методами, необходимо предварительно каким-либо одношаговым методом найти решение на r-1 предыдущих шагах (в точках x1, x2,…,xr-1).

Достоинство метода Адамса:

- экономичность, поскольку он требует вычисления лишь одного значения правой части на каждом шаге (метод Рунге-Кутта четвертого порядка – четырех).

Недостаток:

- невозможность начать счет только по начальным данным.

Рассмотренные методы Адамса относятся к явным многошаговым методам.

Среди многошаговых методов существуют и неявные схемы, так называемые методы прогноза и коррекции (они называются также методами предиктор-корректор). Суть этих методов состоит в следующем. На каждом шаге выполняются два этапа, использующих многошаговые методы:

1) С помощью явного метода (предиктора) по известным значениям функции в предыдущих узлах находится начальное приближение , например, используя явный метод Адамса 4-го порядка

2) Используя неявный метод (корректор) в результате итераций находят приближения

до тех пор, пока не выполнится условие

Например, для этого может быть использован метод Адамса - Моултона при r=3 (8.20)

Явная схема используется на каждом шаге один раз, а с помощью неявной схемы реализуется итерационный процесс.

Заметим, что в этих формулах, как и в случае явного метода Адамса, необходимы значения сеточной функции в r-1 предыдущих точках.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)