Методы решения

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Основные понятия

В зависимости от числа независимых переменных дифференциального уравнения делятся на две различные группы:

- обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие одну независимую переменную;

- уравнения с частными производными, содержащие несколько независимых переменных.

Обыкновенные дифференциальные уравнения – уравнения, содержащие одну независимую переменную и одну или несколько производных от искомой функции . Их можно записать в виде

(8.1)

где х - независимая переменная.

Наивысший порядок n, входящей в уравнение производной, называется порядком дифференциального уравнения. Например, уравнения первого и второго порядков соответственно имеют вид

В ряде случаев из общей записи дифференциального уравнения удается выразить старшую производную в явном виде

(8.2)

или для уравнений первого и второго порядков

Такая форма записи называется дифференциальным уравнением, разрешенным относительно старшей производной.

Решением дифференциального уравнения (8.1) называется всякая функция , которая после её подстановки в уравнение превращает его в тождество.

Общее решение дифференциального уравнения n -го порядка (8.1) содержит n произвольных постоянных C₁, C₂,…,C_n, то есть общее решение имеет вид

(8.3)

Частное решение дифференциального уравнения получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные значения. Таким образом, частное решение имеет вид

, (8.4)

если постоянные принимают определенные значения

Например, для уравнения первого порядка

- общее решение

- частное решение,

если (постоянная принимает значение ).

Для выделения частного решения из общего нужно задать дополнительные условия. Количество дополнительных условий соответствует количеству произвольных постоянных в общем решении, то есть равно порядку уравнения.

В качестве дополнительных условий могут задаваться значения искомой функции и её производных при некоторых значениях независимой переменной, то есть в некоторых точках.

В зависимости от способа задания дополнительных условий существует два различных типа задач:

- задача Коши, когда дополнительные условия задаются в одной точке. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями, а точка х=х₀, в которой они задаются, - начальной точкой.

- краевая задача, когда дополнительные условия задаются в более чем одной точке, то есть при разных значениях независимой переменной. Сами дополнительные условия при этом называются граничными (или краевыми) условиями. На практике обычно граничные условия задаются в двух точках х=а и х=b, являющихся границами области решения дифференциального уравнения.

Пример

Задача Коши

Краевая задача

, , (a=0, b=1)

, , ,

(a=1, b=3)

Методы решения

обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на четыре группы:

1) графические

2) аналитические

3) приближенные

4) численные

Графические методы используют геометрические построения. Одним из них является метод изоклин для решения уравнений первого порядка. Он основан на геометрическом определении интегральных кривых по заранее построенному полю направлений, определённомуизоклинами. Изоклина – линия постоянного наклона.

Аналитические методы рассматриваются в курсе высшей математике и дают возможность получить решение в виде формул (аналитического выражения ) путем аналитических преобразований. Например, для уравнений первого порядка с разделяющимися переменными, однородными, линейными, для линейных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами.

Приближенные методы используют различные упрощения самих уравнений путем обоснованного отбрасывания некоторых содержащихся в них членов, а также специальным выбором классов искомых функций.

Численные методы в настоящее время является основным инструментом решения дифференциальных уравнений. Необходимо подчеркнуть, что данные методы особенно эффективны в сочетании с использованием быстродействующих ЭВМ.

Наиболее распространенным и универсальным численным методом решения дифференциальных уравнений является метод конечных разностей. Его суть состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргумента (например, отрезок) заменяется дискретным множеством точек, называемыми узлами. Эти узлы составляют разностную сетку. Искомая функция непрерывного аргумента заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке. Эта функция называется сеточной. Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции. При этом, для входящих в уравнение производных используются соответствующие конечно-разностные соотношения (глава 3. Аппроксимация производных). Такая замена дифференциального уравнения называется его аппроксимацией на сетке (или разностной аппроксимацией). Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки.

Поиск по сайту: