Вывод: Уравнение Бернулли с помощью замены сводится к линейному неоднородному уравнению первого порядка

Сменим у каждого слагаемого знак, делать это не обязательно, просто запись будет выглядеть стандартнее что ли:

Дальше алгоритм работает по накатанной колее, важно только уметь решать неоднородное уравнение 1-го порядка:

Проведем замену:

Составим и решим систему:

Из первого уравнения найдем :

– подставим найденную функцию во второе уравнение системы:

Подобные называют дурными интегралами, они не столько сложные, сколько творческие – нужно догадаться, как их решать.

Данный интеграл берётся по частям:

Творчество присутствует, помимо интегрирования по частям, использован метод подведения функции под знак дифференциала.

Таким образом:

Но это ещё не всё, выполняем обратную замену:
Если изначально было , то обратно будет

В результате получаем общее решение исходного уравнения Бернулли:

Тривиальное решение потерялось (это произошло в самом начале при делении на ) и не вошло в общий интеграл. Однако это обстоятельство нас совершенно не волнует, поскольку по условию требовалось решить только задачу Коши (! заметьте, что если бы условие требовало указать в ответе и общее решение, то его следовало бы дополнить функцией ). Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию :

Ответ: частное решение:

Алгоритм проверки дифференциального уравнения:

1) проверяем, выполнено ли начальное условие;
2) берём ответ и находим производную ;
3) подставляем ответ и найденную производную в исходное ДУ – должно получиться верное равенство.

Проверить дифференциальное уравнение Бернулли действительно не всем под силу, так как в большинстве случаев приходится находить трудную производную и выполнять громоздкую подстановку.

Примеры для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти решение ДУ , удовлетворяющее начальному условию

Пример 3

Найти решение задачи Коши
,

В третьем примере перед решением целесообразно представить уравнение в стандартном виде: .

Вообще, иногда составители сборников и методичек зашифровывают уравнения до неузнаваемости, например:

Пример 4

Найти решение ДУ , соответствующее начальному условию

Решение: Пожалуйста, классический вид уравнения Бернулли.

По условию требуется решить только задачу Коши.

Сначала убираем «игрек» из правой части, для этого делим каждую часть на :

Теперь с помощью замены нужно избавиться от «игрека» вот в этом слагаемом:

Из вышесказанного следует замена:
Найдем производную:
, откуда выразим:

Таким образом:

Получено линейное неоднородное уравнение, проведем замену:


Составим и решим систему: .

Из первого уравнения найдем :



– подставим во второе уравнение:

Таким образом:
Обратная замена: если , то
Общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

Уравнение имеет два корня и в результате получаются… два частных решения , каждое из которых удовлетворяет начальному условию . Желающие могут выполнить проверку для обеих функций. Однако зададимся вопросом, а могло ли такое получиться в принципе? Может быть где-нибудь допущена ошибка?

В теории математического анализа строго доказано, что задача Коши имеет единственное решение лишь при выполнении определённых условий (соответствующая теорема формулируется в первых параграфах любого учебника/раздела, посвященного дифференциальным уравнениям).

В данном случае условие единственности нарушено, и в точке пересекаются (именно пересекаются, а не касаются друг друга!) графики многочленов .

Ответ: начальному условию соответствуют два частных решения:

Якоб Бернулли почти итальянец, жил в Швейцарии, говорил на 5-ти языках. В семье Бернулли 9 (!) математиков, причём у некоторых представителей династии есть серьёзные достижения и в области физики.

Пример 5

Найти общее решение (или общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка.

Немногочисленный пример из моей выборки, когда требуется найти только общее решение. Полное решение и ответ в конце урока.

Мы рассмотрели наиболее распространенные версии уравнения Бернулли – с «игреком» во второй степени и с «игреком» под квадратным корнем. Другие варианты встречаются реже. Разберём пример, когда «игрек» находится в кубе.

Пример 6

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение: Данное ДУ является уравнением Бернулли.

Очевидно, что является решением этого уравнение.

И только после этой оговорки делим обе части на :

Избавляемся от «игрека» в «полюбившемся» слагаемом, для этого проведем замену:

В результате:

Получено линейное уравнение, проведем замену:

Решим систему:

Из первого уравнения найдем :




– подставим во второе уравнение:

Таким образом:

Проведём обратную замену: если изначально , то обратно:

В принципе, здесь можно выразить общее решение в виде:

Ответ: общий интеграл: . Ещё одно решение:

Пример 7

Найти частное решение дифференциального уравнения
,

Это пример для самостоятельного решения.

Решения и ответы:

Пример 2:

Р ешение: Данное ДУ является уравнением Бернулли. Найдем общее решение.


Проведем замену:

Получено линейное неоднородное уравнение, замена: .



Составим и решим систему:
Из первого уравнения найдем :



– подставим во второе уравнение…

Поиск по сайту: