Примеры решений. Речь пойдет о так называемых уравнениях Бернулли, которые нет-нет, да и встречаются в практических работах и контрольных заданиях

Речь пойдет о так называемых уравнениях Бернулли, которые нет-нет, да и встречаются в практических работах и контрольных заданиях. Уравнение Бернулли рекомендую изучать только в том случае, если у вас уже есть опыт решения дифференциальных уравнений первого порядка, в особенности, следует хорошо ориентироваться в линейных неоднородных уравнениях вида .

Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид:

Очевидно – уравнение Бернулли по общей структуре напоминает линейное неоднородное уравнение первого порядка.

Характерным признаком, по которому можно определить уравнения Бернулли, является наличие функции «игрек» в степени «эн»: .

Если или , то уравнение Бернулли превращается в уравнения, которые вы уже должны уметь решать.

Целая степень может быть как положительной, так и отрицательной (во втором случае получится дробь), кроме того, может быть обыкновенной дробью, например .

Как и линейное неоднородное уравнение первого порядка, уравнение Бернулли может приходить на новогодний утренник в разных костюмах. Волком:

Зайчиком:

Или белочкой:

Важно, чтобы в уравнении присутствовал персонаж , который, иногда может маскироваться под корень.

Обратите внимание, что одним из очевидных решений уравнения Бернулли (если ) является решение: . Действительно, если найти и подставить в уравнения рассмотренных типов, то получится верное равенство.

Пример 1

Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию.
,

Когда для решения предложено уравнение Бернулли, почему-то очень часто требуется найти частное решение.

Решение: Данное дифференциальное уравнение имеет вид , а значит, является уравнением Бернулли

Поиск по сайту: