|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Анализ решенийИтак, в обоих рассмотренных случаях дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы имеет вид:
где x – переменная (смещение, заряд, ток), описывающая колебания, b – коэффициент затухания, a w0 – циклическая частота свободных (собственных) незатухающих колебаний (то есть при b=0, при отсутствии потерь энергии). Сведем новую задачу к предыдущей. Для этого вместо переменной xопределим новую переменную X, связанную с x соотношением:
Дифференцируя функцию x(t), получаем:
Подставляем эти выражения в (1.67):
Выражение в квадратных скобках должно быть равно нулю. Замечаем, что в этом выражении сокращаются члены с первой производной dX/dt Получаем в итоге дифференциальное уравнение для функции X(t):
Здесь возможны два случая. Пусть сначала b<w0. Тогда можно ввести параметр
так что уравнение (1.71) примет вид:
Но это – стандартное уравнение гармонических колебаний, общее решение которого мы знаем:
Значит, мы нашли общее решение уравнения затухающих колебаний (1.67):
Во многих системах коэффициент затухания мал по сравнению с собственной частотой колебаний: b<<w0. Тогда движение системы можно рассматривать как почти гармоническое колебание с частотой w0 и с амплитудой, изменяющейся по закону (рис. 1.22)
Коэффициент затухания b определяет скорость уменьшения амплитуды колебаний: он обратен по величине промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в e раз. Период затухающих колебаний равен:
Пусть первое наибольшее отклонение достигается в момент времени t=t*. Последующие наибольшие отклонения (A', A'', A''' и т.д. – см. рис. 1.20) образуют геометрическую прогрессию:
Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно:
Это соотношение называется декрементом затухания. Логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания:
Определим количество колебаний, которое совершит система за время t=1/b. За это время амплитуда уменьшается в е раз, а число колебаний равно:
Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз. Для характеристики колебательной системы часто употребляется величина, называемая добротностью:
которая пропорциональна числу колебаний Nе, совершаемых системой за то время t, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Например, для электромагнитного контура при b<<w0 находим:
Мы видели, что полная энергия в колеблющейся системе пропорциональна квадрату амплитуды. При малом затухании (b<<w0) имеем:
где E0– значение полной энергии колеблющейся системы в начальный момент времени. Можно определить убыль энергии за период Т:
Следовательно,
то есть при слабом затухании добротность, с точностью до множителя 1/(2p), равна отношению полной энергии, запасенной в колебательной системе в данный момент времени, к убыли энергии за один период колебаний. При увеличении затухания частота колебаний
стремится к нулю, а период колебаний растет. В предельном случае
период обращается в бесконечность, то есть движение перестает быть периодическим. Соответствующий математический анализ показывает, что при b > w0 движение носит апериодический характер – выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. Экспериментальное изучение затухающих колебаний математического маятника показано на рис. 1.23. Исследование с помощью модели зависимости амплитуды затухающих колебаний от коэффициента затухания показано на рис. 1.24. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.) |