АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Анализ решений

Читайте также:
  1. II. Основные проблемы, вызовы и риски. SWOT-анализ Республики Карелия
  2. III. Анализ продукта (изделия) на качество
  3. III. Анализ результатов психологического анализа 1 и 2 периодов деятельности привел к следующему пониманию обобщенной структуры состояния психологической готовности.
  4. III. «Культ личности»: противоречивость критике и обществоведческого анализа.
  5. IV этап. Анализ
  6. IX. Дисперсионный анализ
  7. Oанализ со стороны руководства организации.
  8. SWOT- анализ для стратегии концентрированного роста
  9. SWOT- анализ и составление матрицы.
  10. SWOT-анализ
  11. SWOT-анализ
  12. SWOT-анализ

Итак, в обоих рассмотренных случаях дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы имеет вид:

  (1.67)

где x – переменная (смещение, заряд, ток), описывающая колебания, b – коэффициент затухания, a w0 – циклическая частота свободных (собственных) незатухающих колебаний (то есть при b=0, при отсутствии потерь энергии). Сведем новую задачу к предыдущей. Для этого вместо переменной xопределим новую переменную X, связанную с x соотношением:

  (1.68)

Дифференцируя функцию x(t), получаем:

  (1.69)

Подставляем эти выражения в (1.67):

  (1.70)

Выражение в квадратных скобках должно быть равно нулю. Замечаем, что в этом выражении сокращаются члены с первой производной dX/dt Получаем в итоге дифференциальное уравнение для функции X(t):

  (1.71)

Здесь возможны два случая. Пусть сначала b<w0. Тогда можно ввести параметр

так что уравнение (1.71) примет вид:

Но это – стандартное уравнение гармонических колебаний, общее решение которого мы знаем:

Значит, мы нашли общее решение уравнения затухающих колебаний (1.67):

  (1.72)

 

Во многих системах коэффициент затухания мал по сравнению с собственной частотой колебаний: b<<w0. Тогда движение системы можно рассматривать как почти гармоническое колебание с частотой w0 и с амплитудой, изменяющейся по закону (рис. 1.22)


Рис. 1.22. Свободные затухающие колебания

Коэффициент затухания b определяет скорость уменьшения амплитуды колебаний: он обратен по величине промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в e раз.

Период затухающих колебаний равен:

  (1.73)

Пусть первое наибольшее отклонение достигается в момент времени t=t*. Последующие наибольшие отклонения (A', A'', A''' и т.д. – см. рис. 1.20) образуют геометрическую прогрессию:

  (1.74)

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно:

  (1.75)

Это соотношение называется декрементом затухания. Логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания:

  (1.76)

Определим количество колебаний, которое совершит система за время t=1/b. За это время амплитуда уменьшается в е раз, а число колебаний равно:

  (1.77)

Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Для характеристики колебательной системы часто употребляется величина, называемая добротностью:

  (1.78)

которая пропорциональна числу колебаний Nе, совершаемых системой за то время t, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Например, для электромагнитного контура при b<<w0 находим:

  (1.79)

 

Мы видели, что полная энергия в колеблющейся системе пропорциональна квадрату амплитуды. При малом затухании (b<<w0) имеем:

  (1.80)

где E0– значение полной энергии колеблющейся системы в начальный момент времени. Можно определить убыль энергии за период Т:

  (1.81)

Следовательно,

  (1.82)

то есть при слабом затухании добротность, с точностью до множителя 1/(2p), равна отношению полной энергии, запасенной в колебательной системе в данный момент времени, к убыли энергии за один период колебаний.

При увеличении затухания частота колебаний

стремится к нулю, а период колебаний растет. В предельном случае

период обращается в бесконечность, то есть движение перестает быть периодическим. Соответствующий математический анализ показывает, что при b > w0 движение носит апериодический характер – выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.

Экспериментальное изучение затухающих колебаний математического маятника показано на рис. 1.23.


Рис. 1.23. Экспериментальное изучение затухающих колебаний математического маятника

Исследование с помощью модели зависимости амплитуды затухающих колебаний от коэффициента затухания показано на рис. 1.24.


Рис. 1.24. Исследование зависимости амплитуды затухающих колебаний от коэффициента затухания системы


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)