Эффект Доплера для электромагнитных волн

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета К распространяется плоская электромагнитная волна. Фаза волны имеет вид:

(3.108)

Наблюдатель в другой инерциальной системе отсчета К', движущейся относительно первой со скоростью V вдоль оси x, также наблюдает эту волну, но пользуется другими координатами и временем: t', r'. Связь между системами отсчета дается преобразованиями Лоренца:

(3.109)

Подставим эти выражения в выражение для фазы j, чтобы получить фазу j ' волны в движущейся системе отсчета:

(3.110)

Это выражение можно записать как

(3.111)

где w ' и k – циклическая частота и волновой вектор относительно движущейся системы отсчета. Сравнивая с (3.110), находим преобразования Лоренца для частоты и волнового вектора:

(3.112)

Для электромагнитной волны в вакууме

Пусть направление распространения волны составляет в первой системе отсчета угол a с осью х :

Тогда выражение для частоты волны в движущейся системе отсчета принимает вид:

(3.113)

Это и есть формула Доплера для электромагнитных волн.

Если a=0, то наблюдатель удаляется от источника излучения и воспринимаемая им частота волны уменьшается:

(3.114)

Если a=p, то наблюдатель приближается к источнику и частота излучения для него увеличивается:

(3.115)

При скоростях V << с можно пренебречь отклонением квадратного корня в знаменателях от единицы, и мы приходим к формулам, аналогичным формулам (3.85) для эффекта Доплера в звуковой волне.

Отметим существенную особенность эффекта Доплера для электромагнитной волны. Скорость движущейся системы отсчета играет здесь роль относительной скорости наблюдателя и источника. Полученные формулы автоматически удовлетворяют принципу относительности Галилея, и с помощью экспериментов невозможно установить, что именно движется – источник или наблюдатель. Это связано с тем, что для электромагнитных волн отсутствует среда (эфир), которая играла бы ту же роль, что и воздух для звуковой волны.

Заметим также, что для электромагнитных волн имеет место поперечный эффект Доплера. При a=p/2 частота излучения изменяется:

(3.116)

в то время как для звуковых волн движение в направлении, ортогональном распространению волны, не приводило к сдвигу частот. Этот эффект прямо связан с релятивистским замедлением времени в движущейся системе отсчета: наблюдатель на ракете видит увеличение частоты излучения или, более общо, ускорение всех процессов, происходящих на Земле.

Найдем теперь фазовую скорость волны

в движущейся системе отсчета. Имеем из преобразований Лоренца для волнового вектора:

(3.117)

Подставим сюда соотношение:

(3.118)

Получаем:

(3.119)

Отсюда находим скорость волны в движущейся системе отсчета:

(3.120)

Мы обнаружили, что скорость волны в движущейся системе отсчета не изменилась и по-прежнему равна скорости света с.

Пример 1. Фотонная ракета движется со скоростью V=0.9с, держа курс на звезду, наблюдавшуюся с Земли в оптическом диапазоне (длина волны l=0.4 мкм). Найдем длину волны излучения. которую будут наблюдать космонавты.

Длина волны обратно пропорциональна частоте колебаний. Из формулы (3.115) для эффекта Доплера в случае сближения источника света и наблюдателя находим закон преобразования длин волн:

(3.121)

откуда следует результат:

(3.122)

По рис. 3.28 определяем, что для космонавтов излучение звезды сместилось в ультрафиолетовый диапазон.

Поиск по сайту: