Методические указания к решению задач. В данном разделе рассматриваются гармонические колебания в механических системах

В данном разделе рассматриваются гармонические колебания в механических системах.

Для полного кинематического описания гармонических колебаний в таких системах необходимо определить циклическую частоту, амплитуду и начальную фазу.

Амплитуда и начальная фаза определяются из начальных условий движения системы (начального положения и начальной скорости) с помощью методов кинематики прямолинейного движения частицы либо движения по окружности.

Скорость тела изменяется со временем по такому же гармоническому закону, что и его координата, но изменение скорости опережает по фазе изменение координаты на величину p/2. То есть в те моменты времени, когда смещение тела относительно положения равновесия достигает максимальных значений (крайние точки), скорость тела равна нулю, и, наоборот, - в положении равновесия скорость тела максимальна.

Ускорение тела изменяется со временем по гармоническому закону, как координата и скорость, но изменение ускорения опережает по фазе изменение координаты на величину?, а скорости – на величину p/2. То есть в те моменты времени, когда смещение тела относительно положения равновесия максимально, его ускорение также максимально, а в положении равновесия ускорение равно нулю.

Циклическая частота находится с помощью анализа динамики системы. Анализ явления следует начинать с анализа сил, действующих на тело. Равнодействующая сил, действующих на тело (систему тел), является квазиупругой силой.

Гармонические колебания совершаются вблизи положения равновесия. Как правило, гармонические колебания является малыми колебаниями.

Поскольку квазиупругая сила является консервативной силой, то при гармонических колебаниях сохраняется полная механическая энергия системы. Поэтому для определения циклической частоты наряду с динамическим можно воспользоваться эквивалентным ему энергетическим методом.

Потенциальная и кинетическая энергии тела в процессе движения изменяются таким образом, что когда одна из них увеличивается, другая – уменьшается. Потенциальная энергия имеет максимальное значение в крайних точках, а кинетическая – в положении равновесия. Полная энергия при гармонических колебаниях остается постоянной и равной максимальной потенциальной или максимальной кинетической энергии. Средние за период колебаний значения потенциальной и кинетической энергий одинаковы и равны половине полной энергии.

Ограничимся рассмотрением двух групп задач о колебаниях маятников:

· задачи о колебаниях пружинного маятника;

· задачи о колебаниях математического маятника.

Частота и период колебаний пружинного маятника, в отличие от математического, не зависят от наличия внешних сил и ускорения точки подвеса и определяются только параметрами системы – жесткостью пружины и массой маятника.

При определении периода колебаний пружинного маятника, содержащего несколько пружин, необходимо найти эффективную жесткость системы пружин.

Если математический маятник покоится, либо движется прямолинейно и равномерно, то его период колебаний определяется формулой Гюйгенса.

Если же математический маятник движется с ускорением а в вертикальном направлении, то его период колебаний определяется выражением

Если он движется ускоренно в горизонтальном направлении, то его период колебаний определяется выражением

Период колебаний математического маятника будет меняться, если изменится ускорение свободного падения, например, вследствие подъема на высоту, сравнимую с радиусом Земли.

При изменении длины маятника вследствие теплового расширения период колебаний будет также изменяться.

При решении задач на электромагнитные колебания, в которых требуется определить частоту или длину волны, на которую настроен контур, необходимо знать формулу периода свободных колебаний (формулу Томсона)

Зная период электрических колебаний в контуре, можно определить частоту колебаний и длину волны, на которую настроен контур


где с=3 · 10⁸ м/с – скорость света в вакууме.
В ряде задач необходимо использовать закон сохранения энергии, для этого необходимо знать выражения для энергии электрического и магнитного полей.

Между механическими и электромагнитными колебаниями имеется глубокая аналогия. Сопоставление механических и электромагнитных характеристик, описывающих механические и электромагнитные колебания, представлено в таблице.

Механические колебания	Электромагнитные колебания
смещение х	заряд конденсатора q
амплитуда смещения А	амплитуда заряда q0
масса m	индуктивность L
коэффициент жесткости k	величина, обратная емкости
максимальная скорость v0	максимальная сила тока I
ускорение а	скорость изменения силы тока
потенциальная энергия	энергия электрического поля
кинетическая энергия	энергия магнитного поля
импульс p=mv	магнитный поток FВ=LI
коэффициент затухания	коэффициент затухания

При вращении с постоянной угловой скоростью замкнутого проводящего контура в магнитном поле в нем возникает переменный ток, изменяющийся по гармоническому закону.

Если в цепи переменного тока имеются резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности, то между мгновенными значениями тока и напряжения в цепи возникает разность фаз.

Электроизмерительные приборы, включенные в цепь переменного тока, показывают действующие значения тока и напряжения.

Законы последовательного и параллельного соединения проводников в цепи переменного тока можно применять только к мгновенным значениям тока и напряжения. К действующим значениям эти законы не применимы.

Поиск по сайту: