|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Вынужденные колебания. В случае вынужденных колебаний система колеблется под действием периодической внешней (вынуждающей) силыВ случае вынужденных колебаний система колеблется под действием периодической внешней (вынуждающей) силы. За счет работы этой силы компенсируются потери энергии системы. Частота вынужденных колебаний зависит от частоты изменения внешней силы (вынуждающей частоты). Практически наиболее интересным является случай, когда вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону:
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Это явление называется резонансом.
Явление резонанса используется для усиления колебаний, например электрических. Однако при конструировании машин и сооружений необходимо учитывать явление резонанса, чтобы предотвратить нежелательные последствия резонансного увеличения амплитуды вынужденных колебаний. Для пружинного маятника уравнение вынужденного колебательного движения имеет вид:
или
где Если рассматривать электрический колебательный контур, то компенсировать потери энергии в контуре можно с помощью подводимой извне периодически изменяющейся по гармоническому закону ЭДС или переменного напряжения Уравнение колебаний в контуре (рис. 1.25) можно записать, используя закон Ома для замкнутой цепи
Где
– собственная частота контура,
– коэффициент затухания, a
Таким образом, вынужденные колебания в электрическом контуре описываются тем же самым линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка, что и в случае колебаний пружинного маятника. Предположим, что нам известно хотя бы одно решение этого уравнения – некое частное решение qBblH(t). Тогда разность любого другого решения q(t) и этого частного решения qBblH будет удовлетворять однородному уравнению (с нулем в правой части), которое мы подробно изучили в предыдущем разделе. Поэтому общее решение уравнения (1.87) может быть записано как
где С течением времени из-за экспоненциального множителя ехр(-bt) роль второго слагаемого уменьшается (оно важно на начальной стадии установления колебаний). По прошествии достаточно большого времени
Подставим qВЫН в уравнение (1.87):
Так как функции синуса и косинуса линейно независимы, коэффициенты при них в левой части (1.90) должны быть равны нулю:
Решение этой системы имеет вид:
Решение (1.89) с коэффициентами (1.92) можно записать в стандартном виде:
где
и
Рассмотрим отклик системы на изменение частоты внешней силы. Под квадратным корнем в выражении для амплитуды стоит квадратичная функция частоты
Эта функция имеет минимум (а значит, амплитуда имеет максимум). Для нахождения точки минимума дифференцируем функцию f(w) по w и приравниваем производную нулю. В итоге получаем следующие выражения для резонансной частоты
и амплитуды вынужденных колебаний при резонансе
Следует отметить, что при b<<w0 значение резонансной частоты w рез практически совпадает с собственной частотой w0 колебательной системы. Поскольку b стоит в знаменателе выражения для A рез, амплитуда колебаний в резонансе растет с уменьшением затухания. На графике 1.26 видно, что чем меньше затухание, тем выше и правее лежит максимум резонансной кривой. При увеличении частоты внешнего воздействия амплитуда стремится к нулю:
что равно удлинению пружины под действием постоянной силы F0. В случае электромагнитных колебаний в контуре
что равно заряду на конденсаторе при подсоединении его к источнику постоянного напряжения Um. Найдем отношение резонансной амплитуды к статической:
Иными словами, добротность Q характеризует также резонансные свойства колебательной системы. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.) |