|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Как решить однородное дифференциальное уравнение?Функцию «игрек» необходимо заменить произведением некоторой функции (тоже зависящей от «икс») и «икса»: Выясняем, во что превратится производная при такой замене, используем правило дифференцирования произведения. Если , то: Подставляем и в исходное уравнение : Что даст такая замена? После данной замены и проведенных упрощений мы гарантировано получим уравнение с разделяющимися переменными. Еще раз подчеркиваю, для ЛЮБОГО однородного уравнения нужно провести одну и ту же замену: строго и, соответственно, строго . После подстановки проводим максимальные упрощения уравнения: Далее алгоритм работает по накатанной колее уравнения с разделяющимися переменными. Если – это функция, зависящая от «икс», то . Ответ: общий интеграл: Почему почти всегда ответ однородного уравнения даётся в виде общего интеграла? Так, например, в рассмотренном примере, общее решение получить можно:
Это не ошибка, но в «хорошем» стиле общий интеграл принято записывать в виде . Для этого сразу после интегрирования уравнения, константу следует записать без всякого логарифма (вот и исключение из правила!): И после обратной замены получить общий интеграл в «классическом» виде: Пример 2 Проверить уравнение на однородность и найти его общий интеграл. Выполнить проверку. Пример 3 Решить дифференциальное уравнение Решение: проверим уравнение на однородность, для этого в исходное уравнение вместо подставим , а вместо подставим : Все лямбды сократились, и получилось исходное уравнение, значит, данное ДУ является однородным. Проведем стандартную замену: После подстановки результат стремимся максимально упростить: Разделяем переменные и интегрируем: Общий интеграл получен, теперь его нужно довести его до ума. Перед тем как выполнять обратную замену , рекомендую снова максимально упростить полученное выражение. Вот теперь обратная замена: Ответ: общий интеграл: Пример 4 Выполнить проверку на однородность и решить дифференциальное уравнение Вот здесь проверка общего интеграла будет не очень сложной. Полное решение и ответ в конце урока. Рассмотрим пару примеров, когда однородное уравнение задано с готовыми дифференциалами. Пример 5 Решить дифференциальное уравнение Решение будем привыкать оформлять компактнее. В чистовом оформлении работы не обязательно выполнять проверку на однородность. На чистовике она гораздо чаще не проводится, чем проводится. Проверка делается на черновике или мысленно, а если вы прорешали первые 4 примера, то многие из вас однородные уравнения уже узнают «в лицо». Таким образом, почти всегда решение начинается с записи: «Данное уравнение является однородным, проведем замену: …». Но вернемся к нашему уравнению. В нём присутствуют дифференциалы и . Уравнение можно решить и с дифференциалами, но алгоритм решения будет немного другой, более того, значительно увеличится риск путаницы и ошибок. Поэтому, если однородное уравнение дано в дифференциалах, то сначала нужно выразить производную , а дальше использовать уже накатанную схему решения. Для того чтобы выразить производную, нужно каждое слагаемое разделить на : Теперь коснёмся одного момента, который вы уже заметили в ходе решения 2-го и 4-го примеров. В дифференциальных уравнениях (и особенно это типично для однородных ДУ) некоторые решения «лежат на поверхности». Чаще всего, это очевидное решение . Подставим и её производную в наше уравнение (что легко сделать и устно): Получено верное равенство, значит, функция является решением уравнения и этот факт желательно отметить при оформлении задачи. Зачем? В ходе дальнейших преобразований существует риск потерять данное решение, то есть оно может не войти в общий интеграл, как это, например, случилось в Примере №4. Дальше всё тривиально, проведем замену: Разделяем переменные: Интегрируем: Интеграл левой части стандартно решается с помощью выделения полного квадрата, но в диффурах гораздо удобнее использовать метод неопределенных коэффициентов: Используя метод неопределенных коэффициентов, разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: Находим интегралы: Перед обратной заменой в новорожденном общем интеграле опять упрощаем всё, что можно упростить: Вот теперь обратная замена : Ответ: общий интеграл: Найденное и отмеченное ранее решение входит в общий интеграл при нулевом значении константы (опять же легко проверяется устно), поэтому его не нужно дополнительно записывать в ответ. Кстати редкий случай, когда общее решение однородного ДУ выражается в более или менее «приличном» виде: Ответ: общее решение: Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |