 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Решение однородных систем методом Гаусса
Однородная система 
всегда совместна, так как она всегда имеет нулевое решение x 1 = x 2 = … = xn = 0. Для нее справедливо, что 
.
Теорема Кронекера - Капелли для однородной системы: 1) если 
, то система имеет единственное решение – нулевое, 2) если 
, то система имеет бесконечное множество решений, среди которых есть и ненулевые.
Определение 3. Линейно независимая совокупность решений однородной системы называется фундаментальной системой решений, если каждое решение является линейной комбинацией остальных.
Идея метода Гаусса: матрица системы приводится к трапециевидной или к треугольной форме, затем все получившиеся базисные переменные выражаются через свободные переменные и находится фундаментальное решение системы.
Пример. Решить систему линейных уравнений: 
.
Решение. Запишемматрицу системы: 
,
отсюда 
т.к. три ненулевые строки. Количество неизвестных n = 4, т.е. , следовательно, по теореме Кронекера - Капелли система имеет бесконечное множество решений. Найдем его. Запишем полученную матрицу в виде системы уравнений:
. Система имеет три базисные неизвестные: х 1, х 2, х 3 и одну свободную х 4. Выразим базисные неизвестные через свободную переменную, начиная с последнего уравнения:
,
,
.
Ответ: Фундаментальная система решений: 
.
Поиск по сайту: