|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Пп. 1. Метод Гаусса(для решения однородных и неоднородных систем, когда
Идея метода – последовательное исключение неизвестных: с помощью элементарных преобразований над строками расширенная матрица системы приводится к трапециевидной или к треугольной форме, при этом удобнее, чтобы все ведущие элементы были равны 1 (алгоритм нахождения рангов), либо устанавливается, что система несовместна. Это прямой ход метода Гаусса. Алгоритм прямого хода метода Гаусса 1. Записываем расширенную матрицу системы 2. Переставляя строки, добиваемся, чтобы 3. Ведущий элемент рабочей строки должен быть равен 1. Если 4. Умножая первую строку на числа 5. Не трогая первой строки, путем перестановки остальных строк, добиваемся, чтобы 6. Если 7. Умножая вторую строку на числа 8. И так далее, пока расширенная матрица системы не приведется к трапециевидной форме. На главной диагонали полученной матрицы стоят единицы. Например, 9. Находим ранги матрицы-системы и расширенной матрицы системы. Проверяем условия теоремы Кронекера-Капелли. Делаем вывод о количестве решений системы: одно решение, либо бесконечное множество решений, или нет решений.
Обратный ход заключается в последовательном нахождении неизвестных. Для этого полученная трапециевидная или треугольная матрица записывается снова в виде системы уравнений, и из нее алгебраическим путем, начиная с последнего уравнения, находятся неизвестные. В нашем примере получаем бесконечное множество решений, которые находятся из системы:
В случае бесконечного множества решений все переменные делятся на базисные и свободные. Определение 3. Базисным минором называется ненулевой минор максимального порядка основной матрицы, находящийся в левом верхнем углу. Базисные переменные – это переменные, коэффициенты при которых образуют базисный минор. Остальные переменные называются свободными, т.е. это переменные, которым можно придавать произвольные действительные значения. Количество базисных переменных равно Количество свободных переменных можно найти с помощью формулы:
Все получившиеся базисные переменные (в примере х 1, х 2,…, хn -1) выражаются через свободные (в примере хn)и находится решение системы, либо, если все переменные являются базисными, то выражается в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки. В примере: Ответ примера: {( Определение 4. Базисным решением называется частное решение, получающееся из общего при нулевых значениях свободных переменных. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |