Задачи повышенного уровня

1. (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Заметим, что в левой части уравнения стоит произведение четырех скобок, а в правой – число.

1. Сгруппируем скобки по две так, чтобы сумма свободных членов была одинаковой.

2. Перемножим их.

3. Введем замену переменной.

В нашем уравнении сгруппируем первую скобку с третьей, а вторую с четвертой,так как (-1)+(-4)=(-7)+2:

В этом месте замена переменной становится очевидной:

Получаем уравнение

Ответ:

2.

Уравнение этого типа похоже на предыдущее с одним отличием: в правой части уравнения стоит произведение числа на . И решается оно совсем по-другому:

1. Группируем скобки по две так, чтобы произведение свободных членов было одинаковым.

2. Перемножаем каждую пару скобок.

3. Из каждого множителя выносим за скобку х.

4. Делим обе части уравнения на .

5. Вводим замену переменной.

В этом уравнении сгруппируем первую скобку с четвертой, а вторую с третьей, так как :

Заметим, что в каждой скобке коэффициент при и свободный член одинаковые. Вынесем из каждой скобки множитель :

Так как х=0 не является корнем исходного уравнения, разделим обе части уравнения на . Получим:

Теперь можем ввести замену переменной:

Получим уравнение:

Ответ:

3.

Заметим, что в знаменателях обоих дробей стоят квадратные трехчлены, у которых старший коэффициент и свободный член одинаковые. Вынесем, как и в уравнении второго типа х за скобку. Получим:

Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х:

Теперь можем ввести замену переменной:

Получим уравнение относительно переменной t:

Ответ:

4.

Заметим, что коэффициенты уравнения симметричны относительно центрального. Такое уравнение называется возвратным.

Чтобы его решить,

1. Разделим обе части уравнения на (Мы можем это сделать, так как х=0 не является корнем уравнения.) Получим:

2. Сгруппируем слагаемые таким образом:

3. В каждой группе вынесем за скобку общий множитель:

4. Введем замену:

5. Выразим через t выражение :

Отсюда

Получим уравнение относительно t:

Ответ:

Поиск по сайту: