Критерии оптимальности

В САПР процедуры параметрического синтеза выполняются либо человеком в процессе многовариантного анализа (в интерактивном режиме), либо реализуются на базе формальных методов оптимизации (в автоматическом режиме). В последнем случае находят применение несколько постановок задач оптимизации.

Наиболее распространенной является детерминированная постановка: заданы условия работоспособности на выходные параметры Y и нужно найти номинальные значения проектных параметров X, к которым относятся параметры всех или части элементов проектируемого объекта. Назовем эту задачу оптимизации базовой. В частном случае, когда требования к выходным параметрам заданы нечетко, к числу рассчитываемых величин могут быть отнесены также нормы выходных параметров, фигурирующие в их условиях работоспособности.

Если проектируются изделия для дальнейшего серийного производства, то важное значение приобретает такой показатель, как процент выпуска годных изделий в процессе производства. Оче­видно, что успешное выполнение условий работоспособности в номинальном режиме не гарантиру­ет их выполнения при учете производственных погрешностей, задаваемых допусками параметров элементов. Поэтому целью оптимизации становится максимизация процента выхода годных, а к результатам решения задачи оптимизации относятся не только номинальные значения проектных пара­метров, но и их допуски.

Базовая задача оптимизации ставится как задача математического программирования

(7.35)

где F(X) – целевая функция, X – вектор управляемых (проектных) параметров, φ(Х) и ψ(Х) – функции-ограничения, D_x,.–допустимая область в пространстве управляемых параметров. Запись (7.35) интерпретируется как задача поиска экстремума целевой функции путем варьирования управляемых параметров в пределах допустимой области.

Таким образом, для выполнения расчета номинальных значений параметров необходимо, во-первых, сформулировать задачу в виде (7.35), во-вторых, решить задачу поиска экстремума F(X).

Сложность постановки оптимизационных проектных задач обусловлена наличием у проектируе­мых объектов нескольких выходных параметров, которые могут быть критериями оптимальности, но в задаче (7.35) целевая функция должна быть одна. Другими словами, проектные задачи являются многокритериальными, и возникает проблема сведения многокритериальной задачи к однокритериальной.

Применяют несколько способов выбора критерия оптимальности.

В частном критерии среди выходных параметров один выбирают в качестве целевой функции, а условия работоспособности остальных выходных параметров относят к ограничениям задачи (7.35). Эта постановка вполне приемлема, если действительно можно выделить один наиболее критичный выходной параметр. Но в большинстве случаев сказывается недостаток частного критерия (рис. 7.18).

Рисунок 7.18 – Области Парето и работоспособности

На этом рисунке представлено двумерное пространство выходных параметров у₁ и у₂, для которых заданы условия работоспособности у₁ < Т₁ и у₂ < Т₂. Кривая АВ является границей достижимых значений выходных параметров. Это ограничение объективное и связано с существующими физическими и технологическими условиями производства, называемыми условиями реализуемости. Область, в пределах которой выполняются все условия реализуемости и работоспособности, называют областью работоспособности. Множество точек пространства выходных параметров, из которых невозможно перемещение, приводящее к улучшению всех выходных параметров, называют областью компромиссов, или областью Парето. Участок кривой АВ (см. рис. 7.18) относится к области Парето.

Если в качестве целевой функции в ситуации рис. 7.18. выбрать параметр у₁ то результатом оптимизации будут параметры X, соответствующие точке В. Но это граница области работоспособности и, следовательно, при нестабильности внутренних и внешних параметров велика вероятность выхода за пределы области работоспособности. Конечно, результаты можно улучшить, если применять так называемый метод уступок, при котором в качестве ограничения принимают условие работоспособности со скорректированной нормой в виде

у₂<Т₂+ Δ,

где А – уступка. Но возникает проблема выбора значений уступок, т.е. результаты оптимизации будут иметь субъективный характер. Очевидно, что ситуация не изменится, если целевой функцией бу­дет выбран параметр у₂, – оптимизация приведет в точку А.

Аддитивный критерий объединяет (свертывает) все выходные параметры (частные критерии) в одну целевую функцию, представляющую собой взвешенную сумму частных критериев

(7.36)

где ω_j, – весовой коэффициент, т – число выходных параметров. Функция (7.36) подлежит минимизации, при этом если условие работоспособности имеет вид у_j<Т_j, то ω_j<0.

Недостатки аддитивного критерия – субъективный подход к выбору весовых коэффициентов и неучет требований ТЗ. Действительно в (7.36) не входят нормы выходных параметров.

Аналогичные недостатки присущи и мультипликативному критерию, целевая функция которо­го имеет вид

(7.37)

Нетрудно видеть, что если прологарифмировать (7.37), то мультипликативный критерий превращается в аддитивный.

Более предпочтительным является максиминный критерий, в качестве целевой функции которого принимают выходной параметр, наиболее неблагополучный с позиций выполнения условий работоспособности. Для оценки степени выполнения условия работоспособности j-го выходного параметра вводят запас работоспособности этого параметра S_j, и этот запас можно рассматривать как нормированный j-й выходной параметр. Например (здесь и далее для лаконичности изложения предполагается, что все выходные параметры приведены к виду, при котором условия работоспособности становятся неравенствами в форме у_j<Т_j):

S_j = (Т_j < у_j)/ Т_j

или

S_j = (Т_j < у_номj)/ δ_j

где у_номj –номинальное значение, а δ_j –некоторая характеристика рассеяния j-го выходного параметра, например, трехсигмовый допуск. Тогда целевая функция в максиминном критерии есть

Здесь запись [1:m]означает множество целых чисел в диапазоне от 1 до m. Задача (7.35) при максиминном критерии конкретизируется следующим образом:

(7.38)

где допустимая область D_x определяется только прямыми ограничениями на управляемые параметры x_i:

x_imin< x_i< x_imax.

Поиск по сайту: