Правило решения. 1. Формализовать задачу, т.е

1. Формализовать задачу, т.е. привести ее к виду (6.1).

2. Выписать необходимые условия:

а) уравнение Эйлера

.

Решения уравнения Эйлера называются экстремалями.

б) условия трансверсальности

3. Найти допустимые экстремали, т.е. решения уравнения Эйлера, удовлетворяющие на концах условиям трансверсальности.

4. Доказать, что решением является одна из допустимых экстремалей, или показать, что решения нет.

Задачи

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

6.8.

6.9.

6.10.

6.11.

6.12.

6.13.

В задачах Больца найти допустимые экстремали.

6.14.

6.15.

6.16.

§7. Простейшая задача

классического вариационного исчисления

Постановка задачи. Простейшей задачей классического вариационного исчисления называется следующая экстремальная задача в пространстве :

(7.1)

– называется интегрантом. Экстремум в задаче (7.1) рассматривается среди функций , удовлетворяющих условиям на концах, или краевым условиям . Такие функции называются допустимыми.

Говорят, что допустимая функция доставляет слабый локальный минимум (максимум) в задаче (7.1), т.е. (7.1) (locmax (7.1)), если существует такое, что для любой допустимой функции , для которой , выполняется неравенство: .

Наряду со слабым экстремумом в классическом вариационном исчислении рассматривается сильный экстремум. При этом несколько расширяется класс функций, на которых рассматривается функционал . Экстремум в задаче (7.1) ищется среди функций , принадлежащих классу , т.е. среди кусочно-непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих условиям на концах.

Говорят, что допустимая функция доставляет сильный локальный минимум (максимум), если существует такое, что для любой допустимой функции , для которой , выполняется неравенство: .

Поиск по сайту: