АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Теорема сложения вероятностей для случая, когда события совместны

Читайте также:
  1. I. 4.1. Первая теорема двойственности
  2. I. Монополия имеет место тогда, когда предприятие выпускает продукцию, для которой нет замены.
  3. S-M-N-теорема, приклади її використання
  4. V. Удивительные события
  5. А) Основные метаисторические события
  6. Аксиома выражения в теории вероятностей.
  7. Аксиома подвижного покоя в теории вероятностей.
  8. Аксиома самотождественного различия в теории вероятностей.
  9. Аксиома ставшего числового бытия в теории вероятностей.
  10. Анализ таблицы сложения. Ознакомление дошкольников с арифметическими действиями и вычислительными приемами.
  11. Архитектура, управляемая событиями. Типы данных Win32. Оконная процедура (функция). Оконный класс.
  12. Б1 1.Системы линейных алгебраических уравнений (СЛУ). Теорема Кроникера-Капелли. Общее решение СЛУ.

Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, минус вероятность их совместного появления, то есть

.

Пример. Подбрасываем две монеты. Какова вероятность выпадания хотя бы одного герба?

Решение. Событие А - «появление герба при подбрасывании первой монеты», событие В - «появление герба при подбрасывании второй монеты». Так как А и В - совместные события, то

.

Некоторые задачи можно решать особым приемом, который приводит к формуле полной вероятности (объединение теорем сложения и умножения):

вероятность события А, которое может произойти при осуществлении одного из несовместных событий В1, В2 , В3,..., Вn, образующих полную группу, определяется формулой

Замечание. События В1, В2 , В3,..., Вn называются гипотезами.

Пример. В ящике лежат 10 теннисных мячей, в том числе 8 новых и 2 игранных. Для игры наудачу выбирается два мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры наудачу извлекаются еще два мяча, Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

Решение. Событие А - «для второй игры взято два новых мяча».Для решения, исходя из условия, удобно задать три гипотезы:

В1 - «для первой игры взято два новых мяча»;

В2 - «для игры взяты новый и игранный мяч»;

В3 - «для первой игры взято два игранных мяча». Их вероятности вычисляются по формуле классической вероятности (для подсчеты числа событий используются формулы комбинаторики - см. [3, 8]):

; ; .

Проверка: .

В результате осуществления гипотезы В1 в ящике останется 6 новых и 4 игранных мяча, поэтому . В результате осуществления гипотезы В2 в ящике останется 7 новых из 10, поэтому . Аналогично, . Таким образом:

.

Замечание. В одной и той же задаче могут быть выбраны разные наборы гипотез. Желательно формулировать гипотезы так, чтобы их вероятности, а также и условные вероятности вычислялись проще.

При решении практических задач, когда событие А, появляющееся совместно с каким-либо из несовместных событий В1, В2 , В3,..., Вn, которые образуют полную группу, произошло и требуется произвести количественную переоценку вероятностей событий В1, В2 , В3,..., Вn применяются формулы Бейеса(Bayes):

Пример. Из 10 студентов, которые пришли на экзамен по математике, трое подготовились отлично, четверо хорошо, двое удовлетворительно, а один совсем не готовился - понадеялся на то, что все помнит. В билетах 20 вопросов. «Отличники» могут ответить на все вопросы, «хорошисты» - на 16 вопросов, неподготовившиеся - на 5 вопросов, остальные - на 10 вопросов. Каждый студент получает 3 вопроса из 20. Первый отвечающий ответил на все 3 вопроса. Какова вероятность, что он отличник?


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.38 сек.)