Дифференциальные уравнения высших порядков. Общие понятия

Опр. Дифференциальное уравнение вида называется дифференциальным уравнением n-го порядка.

Будем предполагать, что это уравнение разрешимо относительно n -ой производной, то есть (1)

Теорема о существовании и единственности решения уравнения (1).

Если в уравнении (1) функция и ее частные производные по аргументам непрерывны в некоторой области , содержащей точку , то в некоторой окрестности точки х ₀ существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям: , , …, (2).

Условия (2) называются начальными условиями д.у. (1). Задача отыскания решения д.у. (1), удовлетворяющего условиям (2) называется задачей Коши для уравнения (1).

Задача Коши для д.у. второго порядка: Найти решение д.у. (3), удовлетворяющее условиям , , где х ₀, у ₀, – заданные числа.

Опр. Общим решением д.у. n -го порядка называется функция , если

1) она является решением при любых значениях постоянных с ₁, с ₂,… с_n (при подстановке обращает уравнения в тождества);

2) при любых начальных условиях (2), принадлежащих G, произвольные постоянные с ₁, с ₂,… с_n можно единственным образом подобрать так, что функция будет удовлетворять этим условиям.

Если решение получится в неявном виде , то его называют общим интегралом. Решение, полученное из общего решения при конкретных значениях с ₁, с ₂,… с_n называется частным решением.

Поиск по сайту: