Пример 9.2

,

у ₁ и у ₂ линейно зависимы.

Вопрос о том, будут ли у ₁(х) и у ₂(х) линейно зависимы или линейно независимы, можно решить с помощью определителя Вронского

– определить Вронского.

Теорема 2. Для того чтобы два частных решения линейного однородного уравнения второго порядка (2) были линейно независимы на (а; b) необходимо и достаточно, чтобы их определитель Вронского был отличен от нуля на этом интервале.

Без доказательства.

Теорема 3. (О структуре общего решения линейного однородного уравнения второго порядка) Если у ₁(х) и у ₂(х) – линейно независимые частные решения уравнения (2), то функция

(3),

где с ₁ и с ₂ – произвольные постоянные, является общим решением линейного однородного уравнения (2).

Доказательство.

Согласно определению общего решения следует доказать:

1) функция (3) является решением (2) при любых значениях постоянных с ₁ и с ₂. Выполняется согласно теореме 1;

2) каковы бы ни были начальные условия , произвольные постоянные с ₁ и с ₂ можно подобрать единственным образом так, чтобы соответствующее частное решение удовлетворяло этим начальным условиям. Подставим начальные условия в (3) и получим

, где с ₁ и с ₂ – неизвестные числа, х ₀, у ₀, – заданы.

Определитель системы по теореме 2. Значит, система имеет единственное решение, т.е. с ₁ и с ₂ подбираются единственным образом.

Поиск по сайту: