Загальне рівняння площини та його дослідження

Реферат з математики

Покажемо, що алгебраїчною поверхнею першого порядку є пло­щина. Для цього доведемо такі теореми.

Теорема 1. Площина в прямокутній декартовій системі ко­ординат визначається загальним рівнянням першого степеня відносно поточних координат.

Доведення. Геометричне будь-яку площину в просторі XYZ можна задати за допомогою вектора , перпендикуляр­ного до цієї площини, і точки M₀ (x₀, y₀, z₀), Через яку проходить дана площина

Візьмемо довільну точку M (х, у, z) і знайдемо вектор . Точка M належить заданій площині тоді і тільки тоді, коли Тоді;

Оскільки то скалярний добуток мо­жна записати у вигляді

А(х – х₀) + В(у – у₀) + C(z – z₀) = 0,

або

Ах + By + Cz - (Aх₀ + Ву₀ + Cz₀) = 0. (1)

Позначивши

- (AX₀ + Ву₀ + Cz₀) = D

дістанемо загальне алгебраїчне рівняння першого степеня:

Ах + By + Cz + D = О, (2)

Отже, будь-яка площина в декартових прямокутних коорди­натах може бути зображена рівнянням першого степеня.

Зауважимо, що рівняння (1) є рівнянням площини, яка проходить

Через точкуу M₀ (х₀, у₀, z₀) перпендикулярно до вектора = (А, В, С). Доведемо тепер обернену теорему.

Теорема 2. Загальне рівняння першого степеня

Ax + By + Cz + D = 0, (3)

де А, В, С і D — довільні дійсні чи­сла; х, у, z — поточні координата, визначає в декартовій прямокут­ній системі координат площину. Доведення. Доберемо трійку чисел (х₀, y₀> z₀), які задоволь­няють рівняння (3). Це можна зробити таким чином. Два числа х₀ і у₀ візьмемо довільно, а третє z₀ знайдемо з рівняння (3). Тоді,

Ах₀ + Ву₀ + Cz₀ + D = 0. (4)

Віднімаючи від рівняння (3) рівняння (4), дістаємо

А(х – х₀) + В(у – у₀) + C(z – z₀) = 0. (5)

Це рівняння є рівнянням площини, перпендикулярної до векто­ра = (А, В, С) і такої, що проходить через точку M₀ (х₀, у₀, z₀). Таким чином, кожна площина є поверхнею першого порядку, і, навпаки, кожна поверхня першого порядку є площиною. Тому рів­няння (l) або (3) називається загальним рівнянням площини.

Рівняння;

= 0 (6)

називається векторним рівнянням площини. Враховуючи, що векторне рівняння площини запишемо у вигляді:

, або

Якщо у загальному рівнянні площини покласти z – z₀ = 0, то ді­станемо рівняння,

А(х – х₀) + В(у – у₀) = 0,

або

Ах + By + С = 0, (7)

де С = - (Ax₀ + Ву₀). Рівняння (7) називається загальним рів­нянням прямої, що лежить у площині хОу.

Поиск по сайту: