Рівняння площини, що проходить через три дані точки

Нехай дано три точки М₁ (х₁ у₁, z₁), М₂ (х₂, у₂, z₂), M₃(x₃,y₃,z₃), що не лежать на одній прямій. Ці точки однозначно визначають пло­щину, яка проходить через них. Знайдемо рівняння цієї площини.

Візьмемо довільну точку простору M (х, у, z) (мал.3) і побу­дуємо вектори:

Мал.2 Мал.3

Отже, мішаний добуток їх дорівнює нулю:

(14)

Запишемо цей добуток через координати векторів, які перемножаються. Маємо:

Якщо радіуси-вектори точок М, М₁, М₂ і М₃ відповідно позначити через то вектори можна зобразити у вигляді;

Тоді рівняння (14) можна записати таким чином:

(16)

Рівняння (15) називається рівнянням площини, що прохо­дить через три дані точки, у координатній формі, а рівняння (16) — у векторній формі.

Рівняння площини, що проходить через дану точку паралельно двом даним векторам

Нехай задано точку M₀ (х₀, у₀, z₀) і два неколінеарних (не пара­лельних) вектори а і е. Ці умови геометрична однозначно визна­чають площину, що проходить через задану точку паралельно зада­ним векторам. Знайдемо рівняння площини.

Рівняння площини, що проходить через точку M₀, грунтуючись на (1), запишемо у вигляді;

А(х – х₀) + В(у – у₀) + С(z – z₀) =0,

де = (А, В, С) — вектор, перпендикулярний до даної площини, або нормальний вектор площини (рис. 4).

За умовою площина паралельна векторам . Отже, норма­льний вектор площини можна виразити через векторний добуток даних векторів

Якщо позначити радіуси-вектори точок M i M₀ відповідно через , то рівняння (17) можна записати у вигляді ,звідки ,але Отже, вектори лежать в одній площині, тобто;

(18)

Вираз (18) є векторною формою рівняння площини, що проходить через дану точку паралельно двом даним векторам.

Рівняння заданої площини у координатній формі має вигляд:

(19)

Рівняння площини, що проходить через дві дані точки паралельно даному вектору

Нехай дано дві точки М₁(х₁, у₁, z₁), М₂ (х₂, y₂, z₂) і вектор . Знайдемо рівняння площини, що проходить через дані точки пара­лельно вектору . Нехай M (х, у, z) — довільна точка простору. Позначимо радіуси-вектори точок М, М₁, М₂ відповідно через

За другий вектор, через який проходить задана площина, візьмемо

вектор Тоді рівняння даної площини, згідно

з рівнянням (2.18), можна записати у вигляді:

(20)

або, враховуючи, що , дістаємо.;

î^. Кут між двома площинами Нехай дві площини задані своїми рівняннями

(21)

Знайдемо кут між цими площинами.

Мал.4 Мал.5

Кутом між двома площинами називають один із суміжних двогранних кутів або , утворених цими площинами (мвл.5). Якщо площини не перетинаються, тобто паралельні, то кут між ни­ми дорівнює 0 або .

Нехай кут між даними площинами. Тоді кут між нормальними векторами цих площин також дорі­внюватиме або - . Кут знайдемо за формулою (2.50) з гл.1:

(23)

Поклавши в цій формулі , дістанемо умову перпендикулярності площин:

(24)

Якщо площини ((22) паралельні, то і їхні нормальні вектори і також паралельні (колінеарні). Із умови паралельності векторів

маємо

або

Звідси дістаємо умову паралельності площин:

(25)

Таким чином, у паралельних, площин коефіцієнти при відпові­дних координатах пропорційні.

мал.6

Розв'язавши цю систему від­носно М, дістанемо:

Число M називається норму­вальним множником рівняння;

якщо D < 0, то M > 0, і тоді

Якщо D > 0, то M < 0, і тоді

Таким чином, знак нормувального множника протилежний знаку вільного члена рівняння площини.

Отже, щоб перетворити загальне рівняння площини на нор­мальне, треба обидві частини загального рівняння помножити на його нормувальний множник.

Поиск по сайту: