Вычисление случайных погрешностей измерения

Наиболее полную характеристику погрешностей измерений дает дифференциальный закон распределения вероятностей погрешности. Для его определения вблизи конкретного значения А_д необходимо произвести многократные независимые измерения одной и той же величины А. В результате получается ряд значений измеряемой величины А ₁, А ₂,... А_n. Этому ряду соответствует ряд погрешностей D _i = A_i – A.

Затем строят гистограмму зависимости , где d _i – выбранная ширина интервала по шкале D, n_i – число значений погрешностей, попавших в этот интервал, N – общее число измерений (рис. 2.1).

Для построения гистограммы число измерений должно быть велико. Значение n_i для каждого интервала должно быть не меньше 5…10. Полученная гистограмма соответствует конкретному значению А_д.

Когда число измерений стремится к бесконечности, d – к нулю, величина р_i (D) стремится к функции плотности распределения вероятностей р (D), которая может быть аппроксимирована аналитической функцией, называемой законом распределения вероятностей.

В различных измерительных устройствах законы распределения вероятностей различны. Преимущественно встречаются нормальные и равномерные распределения, а также распределение по закону арксинуса. Возможны и композиции этих законов.

Если на результаты измерений оказывает слабое влияние множество независимых факторов, то эта функция соответствует нормальному закону распределения.

Функция р (D) обладает следующими свойствами:

Наиболее важные числовые характеристики закона распределения – математическое ожидание D_с (систематическая погрешность) и среднеквадратическое отклонение σ (или дисперсия σ ²):

;

.

Числовые вероятностные характеристики представляют собой неслучайные величины и теоретически определяются при бесконечном числе опытов. Практически число наблюдений всегда ограничено. Поэтому реально пользуютсястатистическими числовыми характеристиками, которые называют оценками и обозначают Ù.

Оценка среднеквадратического отклонения (или S):

.

Оценка среднеквадратического отклонения среднего арифметического:

. (2.3)

Оценкой степени близости полученного и истинного значения измеряемой величины является доверительный интервал.

Зададимся положительными числами D₁ и D₂, имеющими размерность измеряемой величины. Обычно D₁ и D₂ выбирают существенно меньшими, чем измеряемая величина А, и равными друг другу. Интервалы А–D₂ и А+D₁ называют доверительными интервалами.

Вероятность того, что истинная величина А₀ окажется внутри этого интервала, называют доверительной вероятностью Р_д:

,

где Р – вероятность выполнения соответствующих неравенств.

Доверительная вероятность Р_д при заданном доверительном интервале является количественной мерой степени достоверности результата измерений.

Таблица 2.1

Значения коэффициента Стьюдента для различных доверительных вероятностей Р_д при различных N