I Вычисление пределов

В §11 темы «Введение в математический анализ» были приведены т.н. асимптотические формулы (ещё говорят «асимптотические оценки») такие, как: (при ) и т.п. Фактически они являются частными случаями формул Маклорена для соответствующих функций. Для вычисления простых пределов тех формул было достаточно. Однако, при работе со сложными пределами требуются формулы Маклорена более высокого порядка. Например, предел

при помощи формулы вычислить невозможно, ибо

Если же возьмём для формулу Маклорена третьего порядка , легко получим

Рассмотрим более сложные примеры.

Пример 1. Вычислить предел

Для вычисления используем такие формулы:

, где

Имеем:

.

Пример 2. Часто студенты считают, что при

.

Докажем по определению, что это не так.

Действительно,

Вычислим отдельно предел показателя степени, используя формулу Маклорена с при :

Используя непрерывность показательной функции, можем записать: . Полученный предел отличен от 1, это и означает, что предполагаемая эквивалентность неверна.

Поиск по сайту: