Исследование функции на экстремум

Напомним уже известные факты. Во-первых, точка экстремума – это всегда внутренняя точка области определения функции; она характеризуется тем, что знак приращения функции не зависит от знака приращения аргумента, если последнее достаточно мало. Во-вторых, необходимое условие экстремума даётся теоремой Ферма: если в точке экстремума функция дифференцируема (т.е. обладает конечной производной), то производная в этой точке равна 0.

Точки, в которых производная функции обращается в ноль, принято называть стационарными точками.

Однако, если рассматривать функции, не имеющие в отдельных точках конечной двусторонней производной, то не исключена возможность, что экстремум придётся на какую на какую-либо из таких точек. Например, функции и имеют в минимумы, в тоже время , и , .

Определение. Точку называют критической точкой первого порядка функции , если или не существует.

Из теоремы Ферма следует, что точки экстремума следует искать среди критических точек (их ещё называют точками возможного экстремума). Требуется дополнительное исследование таких точек, чтобы отобрать среди них точки экстремума. Это исследование выполняется с помощью достаточных условий экстремума.

Теорема 1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть – крити-ческая точка первого порядка непрерывной функции и пусть существует такое, что в односторонних окрестностях этой точки: и – функция дифференцируема и её производная сохраняет знак. Тогда:

1) если в и в , то – точка максимума;

2) если в и в , то – точка минимума;

3) если одного знака в и , то в точке нет экстремума.

Доказательство. 1) Возьмём произвольные точки и и рассмотрим функцию на двух промежутках: и . На каждом из этих промежутков функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, следовательно, существуют точки и такие, что:

,

.

Из этих неравенств вытекает, что и . Таким образом значение – самое большое среди значений для . Это и означает: – точка максимума.

2) Доказывается аналогично.

3) Если , то возрастает как в , так и в . Если же , то убывает в тех же окрестностях. В обоих случаях такое поведение функции говорит о том, что в точке у неё нет

экстремума.

Замечание 1. Требование непрерывности функции нельзя ослабить, о чем свидетельствует рисунок: в точке функция имеет максимум, в то же время при переходе через эту точку производная не меняет знак.

Замечание 2. Доказанную теорему не всегда можно применить, ибо для некоторых функций требование сохранения знака производной не выполняется. Например, для функции

имеем:

, значит, точка 0 – критическая точка. Далее, для

Выражение в скобках ограничено, поэтому при близких к нулю первый член полученной разности также близок к нулю, а второй член принимает значения от –1 до +1. Значит, знак определяется членом . Но в точках вида этот член обращается в ноль и меняет знак. А так как при , то в любой сколь угодно малой окрестности нуля бесконечное число раз меняет знак.

Теорема 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция имеет в критической точке конечную вторую производную. Тогда:

1) если , то – точка минимума;

2) если , то – точка максимума;

3) если , то требуется дополнительное исследование.

Доказательство. Существование конечной производной означает, что существует конечная производная в некоторой окрестности точки и , ибо – критическая точка. Обозначим . Тогда условия теоремы означают, что существует конечный предел

.

Пусть, например, . Тогда для близких к и , то есть . Это означает, что функция возрастает в некоторой окрестности точки . Но . Следовательно, левее точки функция отрицательна, а правее – положительна. Однако, . Значит, первая производная данной функции при переходе через точку меняет знак с «–» на «+». Это означает, что точка – точка минимума. Аналогично рассматривается и случай . В необходимости дополнительного исследования, когда , убеждают две функции: и . Очевидно, что – точка 0 критическая для обеих функций, и . Однако, для ноль – это точка минимума, а в нуле не имеет экстремума.

Замечание 3. В теме «Формулы Тейлора и Маклорена» будет сформулировано и доказано третье достаточное условие экстремума, с помощью которого и производится это дополнительное исследование.

Пример 1. Найти точки экстремума функции .

Решение. Раскроем знак модуля и вычислим производную:

Наличие модуля в выражении для может привести, и в нашем случае приводит, к несуществованию в точке, где модуль обращается в ноль. Действительно,

Отличие левой производной от правой и означает отсутствие производной в точке , т.е. эта точка – критическая. Другие критические точки – это нули производной:

Итак, имеем две критические точки Они разбивают область определения функции на интервалы знакопостоянства производной, т.е. на интервалы монотонности функции. Для определения знака на интервале достаточно определить этот знак в какой-либо точке интервала. Дальнейшее исследование удобно вести, нарисовав вспомогательный чертёж:

Еще раз напомним, что критические точки наносятся на область определения. Мы получаем 4 интервала. Определяем знаки :

Анализ чертежа показывает: в точке функция имеет локальный минимум, причём , а в точке – локальный максимум: .

На чертеже видны и интервалы монотонности : на и функция возрастает, а на и – убывает.

Замечание 4. В точке максимума рассмотренная функция имеет нулевую производную и касательная к графику функции – горизонтальна. О таком максимуме говорят «гладкий максимум» (аналогично «гладкий минимум»). В противоположность этому, точка является точкой «негладкого минимума» – в этой точке производная не существует, хотя есть односторонние производные. Соответствующая точка графика называется угловой точкой графика.

Пример 2. Найти экстремумы функции .

Решение. – существует везде.

– точка максимума;

– точка минимума;

– точка минимума.

Лекция 13

Поиск по сайту: