I Направление выпуклости (вогнутости)

Пусть функция дифференцируема на интервале . Дифференцируемость означает существование конечной производной, что, в свою очередь, означает наличие у графика функции невертикальной касательной. А для такой прямой есть понятия «выше» и «ниже».

Определение 1. Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз (вверх) на интервале , если её график лежит не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на .

Говорят ещё: «график функции направлен выпуклостью вниз (вверх)». Вместо «выпукла вниз (вверх)» говорят иногда «вогнута вверх (вниз)». Ещё вместо «выпуклая вверх» говорят просто «выпуклая», а вместо «выпуклая вниз» – «вогнутая».

На рисунке слева изображен график функции выпуклой вниз, а справа – вверх.

Теорема 1 (первое достаточное условие выпуклости). Пусть функция имеет на интервале конечную производную второго порядка. Тогда:

1) если на , то направлена выпуклостью вниз;

2) если на , то направлена выпуклостью вверх.

Доказательство. Обозначим: – ордината точки графика функции с абсциссой ; – ордината точки касательной к графику с той же абсциссой. Если – произвольная точка из , то уравнение касательной к графику в точке с абсциссой имеет вид: . Составим разность ординат: . Существование означает, что существует (и непрерывна) и, следовательно, – непрерывна. Тогда к функции на промежутке применима теорема Лагранжа:

Тогда

Функция непрерывная и дифференцируемая, значит, к ней можем приме-нить теорему Лагранжа на промежутке

Итак, для разности ординат точки графика и точки касательной имеем равенство: . Возможны два случая взаимного расположения точек :

В обоих случаях произведение положительно, следовательно, : если , то , т.е. график расположен выше касательной, функция выпукла вниз; если , то , график расположен ниже касательной, функция выпукла вверх. Теорема доказана.

Замечание 1. Доказанная теорема имеет простую геометрическую иллюстрацию. Если функция выпукла вниз, то угловой коэффициент касательной, т.е. возрастает, значит . Для выпуклой вверх функции первая производная убывает, значит, вторая производная отрицательна.

Пример 1. Исследовать на выпуклость степенную функцию

Имеем . Если или , то , а если , то . Значит, на луче выпукла вниз при и , и выпукла вверх при . При или имеем линейную функцию или . Такие функции могут считаться как выпуклыми вверх, так и выпуклыми вниз.

Поиск по сайту: