|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке
Пусть функция непрерывна на замкнутом промежутке . В силу одного из свойств таких функций она достигает на этом промежутке своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться как внутри промежутка, так и на его концах. Если своего наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке промежутка, то такая точка является точкой локального максимума (минимума), а значит и критической точкой первого порядка. Можно предложить следующий алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений. 1. Найти 2. Найти критические точки первого порядка и отобрать из них те, которые лежат внутри промежутка . 3. Вычислить значения функции в точках, полученных в предыдущем пункте, а также на концах отрезка. 4. Из ряда чисел, полученных в предыдущем пункте, выбрать наибольшее и наименьшее: они и являются соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на промежутке . Пример 1. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке Решение. 1) Находим производную: 2) Находим критические точки. В данном случае – это только решения уравнения , т.к. производная существует всюду: 3) Вычисляем значения функции: 4) Замечание. В случае исследования функции , непрерывной на открытом промежутке , вместо значений и вычисляют односторонние пределы , . Рассмотрим два примера, в которых приходится находить наименьшее или наибольшее значения некоторых функций. Впрочем, чаще всего интерес представляют не столько сами эти значения, а те значения аргумента, которые доставляют их функции. Пример 2. Из квадратного листа жести со стороной , вырезая по углам равные квадраты и сгибая края, составляют прямоугольную открытую сверху коробку. Как получить коробку наибольшего объёма? Решение. Обозначим сторону вырезаемого квадрата через . Тогда основание коробки – это квадрат со стороной и её объём , при этом изменяется в промежутке . Вопрос свёлся к нахождению наибольшего значения функции на указанном промежутке:
1) 2) 3) 4) Наибольшая вместимость коробки получится, если сторона вырезаемого квадрата составляет часть стороны исходного. Пример 3. Через фиксированную точку внутри угла провести прямую, отсекающую от угла треугольник наименьшей площади.
Решение.
Пусть и – точки пересечения искомой прямой со сторонами угла. Требуется минимизировать площадь . Проведём отрезки и . Их длины обозначим через и соответственно (это фиксированные числа, ибо точка фиксированная). В качестве аргумента минимизируемой функции возьмём длину отрезка . Очевидно, . Из подобия и имеем: Площадь треугольника вычисляем по формуле Итак, минимизируемая функция имеет вид: где 1) 2) 3) Так как при и функция , то в единственной критической точке (из области определения функции) имеем минимум. 4) Наименьшее значение площадь треугольника принимает при , т.е. прямую надо проводить так, чтобы отрезок (и ) был средней линией . Другими словами, прямую через точку надо проводить так, чтобы отрезок, заключённый между сторонами угла, делился в точке пополам. Тема ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА
Лекция 15 Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |