|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
I. . Поскольку и , то формула Маклорена имеет вид где: 1) 2) , для любого промежутка (очевидно, что ). II. . Известно, что Тогда: Условия теоремы из §3 выполнены на всей оси с Формула Маклорена имеет вид где: 1) 2) . На первый взгляд написанные формы для отличаются от общих результатов. Но надо не забывать, что, вообще говоря, в разложении для можно дописать ещё один член с , только коэффициент при этой степени равен 0.
III. . Аналогично предыдущему нетрудно получить где: 1) 2) . IV. . Прежде всего, имеем . Теперь можно использовать формулу дифференцирования степенной функции: При Формула Маклорена имеет вид (с учётом того, что ): где: 1) 2) Отметим, что для оценки остаточного члена для требуется форма , отличная от формы Пеано и Лагранжа. Кроме того, пользоваться разложением в приближённых вычислениях можно только для : только для таких значений .
V. . Поскольку то Формула Маклорена для этой функции имеет вид: Здесь для остаточного члена имеем: Как и в случае логарифмической функции для оценки требуется форма, отличная от Пеано и Лагранжа. Более подробно об этом мы будем говорить в третьем семестре в теме «Степенные ряды». Отметим только, что написанным разложением в приближённых вычислениях можно пользоваться лишь для . VI. Другие функции. Пользуясь известными разложениями, можно, не вычисляя производных, непосредственно писать разложения с остаточным членом в форме Пеано и для более сложных функций. При этом все степени х, до назначенной включительно, учитываем точно, а более высокие степени будем сразу включать в (не выписывая их). Пример 1. Написать разложении функции до . В силу I имеем: где остаточный член , так как . Далее, в силу II имеем: . Таким образом После упрощения получим искомое разложение Пример 2. Написать разложение функции до члена с . Согласно IV, . Необходимое разложение для (см. III) выпишем в нескольких вариантах: . Учитывая, кроме всего, и ~ –0,5 х 2, х → 0, получим: После приведения подобных членов будем иметь: . Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.) |