II Универсальная оценка остаточного члена
Остаточный член (вернее, его абсолютная величина) есть не что иное как погрешность, возникающая при замене функции её многочленом Тейлора. Именно для успешного применения формулы Тейлора в приближённых вычислениях и нужна оценка остаточного члена. Такая оценка даётся следующей теоремой.
Теорема. Пусть функция имеет в промежутке производные всех порядков, которые равномерно ограничены в совокупности, т.е. существует число такое, что Тогда для , имеем универсальную оценку:
(1)
Эта оценка сразу следует из формы Лагранжа остаточного члена и из условий теоремы.
В §6 темы «Введение в математической анализ» было доказано, что для .
Если , то и этот предел тем более равен 0. Отсюда вытекает, что, выбирая достаточно большой номер , мы можем сделать правую часть (1) меньше любого положительного числа. Это даёт нам возможность применять формулу Маклорена для приближённого вычисления функций (удовлетворяющих условиям теоремы) с любой наперёд заданной точностью.
Лекция 16 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | Поиск по сайту:
|