Правило знаходження похідної

Нехай y = f (x) – неперервна функція на [ a, b ] і a < x < b. Для знаходження похідної y ¢ = f ¢ (x) потрібно:

1. Знайти значення функції в точці x: f (x).

2. Надати x приріст D x і знайти значення функції в точці
x + D x: f (x + D x).

3. Знайти приріст функції:

D y = f (x + D x) – f (x).

4. Знайти відношення

.

5. Знайти границю цього відношення при D x ® 0 (якщо вона існує, то це й буде шукана похідна), тобто

.

Використаємо це правило для знаходження похідних деяких елементарних функцій.

Приклад. Знайти похідні функцій

а) y (x) = C (C=const); б) y (x) = x;

Розв’язання. а) Користуючись наведеним правилом, маємо:

1. y (x) = C. 2. y (x +D x) = C. 3. D y = C ‑ C = 0.

4. . 5. .

Отже, похідна сталої дорівнює нулеві:

, (C = const).

Геометричний зміст цього результату полягає в наступному. Лінія y = C – це пряма, паралельна осі Оx (рис.3). Дотична до цієї лінії в будь-якій її точці збігається з самою лінією і тому паралельна осі Оx. Отже, кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює нулеві:

tga = tg 0 = 0.

б) Маємо: 1. y (x) = x. 2. y(x+ .

3. D y = (x + D x) – x = D x. 4. .

.

!! Похідна незалежної змінної дорівнює одиниці: (x)¢ = 1.!!