АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Зв’язок диференційовності і неперервності функції

Читайте также:
  1. III. Соціальна політика, її сутність і функції.
  2. АБСТРАКТНІ КЛАСИ І ЧИСТІ ВІРТУАЛЬНІ ФУНКЦІЇ_________________________________________
  3. Автоматизоване робоче місце бухгалтера (АРМБ): призначення, функції та його рівні.
  4. Автоматизоване робоче місце бухгалтера (АРМБ): призначення, функції та його рівні.
  5. Алгоритм дослідження функції на парність та непарність
  6. Алгоритм знаходження функції, оберненої до даної.
  7. Асимптоти графіка функції
  8. Асимптоти графіка функції
  9. Асимптоти функції.
  10. Банківська система. Банки, їх види та функції
  11. Банківська система. Банки, їх види та функції
  12. Банківська система: сутність, принципи побудови та функції. особливості побудови банківської системи в Україн

Означення. Функція y = f (x) називається диференційовною в точці x, якщо вона в цій точці має похідну.

У протилежному випадку, якщо границя не існує, функція не диференційовна в точці x.

Означення. Функція y = f (x) називається диференційовна в інтервалі ] a, b [, якщо вона диференційовна в кожній точці цього інтервалу.

Дія знаходження похідної функції y = f (x)називається диферен­ціюванням функції, а розділ математики, що вивчає похідну і все, з нею пов’язане, називається диференціальним численням.

Теорема. Якщо функція y = f (x) диференційовна в точці x, то вона неперервна в цій точці.

Обернене твердження, взагалі кажучи, не має місця, тобто з не­перервності функції y = f (x)в точці x не випливає її диференційовність. Розглянемо цю ситуацію на прикладах.

Приклад. Функція визначена і неперервна на всій чис­ловій осі (як елементарна). Проте в точці x = 0 ця функція не є ди­ференційовною. Дійсно, при x = 0 і .

 

 

З точки зору геометрії крива є півкубічна парабола (рис.1), яка в точці x = 0 має вертикальну до­тич­ну (вісь Оy), кут нахилу якої
a = 90° і tg a = tg 90° не існує.

Приклад. Розглянемо функцію y = |x| (рис.2), яка також неперервна при будь-якому x, але не диференційов­на при x = 0.

Дійсно, D y = | x + D x | – | x | і

, тобто y = |x| – неперервна функція при будь-якому x.

Для визначення диференційовності цієї функції розглянемо

.

Нехай x = 0. Тоді Оскільки

то

,

тобто не існує (1 ¹ -1) і y = | x | не диференційовна при x = 0.

Геометрично цей випадок відрізняється від попереднього тим, що при x = 0 крива y = |x| не має взагалі дотичної. Ліворуч x = 0 до­тичною буде пряма y = - x (k = -1), а праворуч – пряма y = x (k = 1).

Отже, якщо y = f (x) не диференційовна при деякому x, то мо­жуть бути два випадки: або не існує взагалі (крива не має до­тичної при цьому x, рис. 2), або ця границя нескінченна (крива має вертикальну дотичну при цьому x, рис.1). В цьому випадку іноді го­ворять, що f ¢(x) = ¥. Але тоді функцію y = f (x) слід називати дифе­ренційовною в точці x, якщо вона має в цій точці скінченну похідну.

2. Основні правила диференціювання функцій

Нехай функції u (x), v (x) мають похідні при деякому значенні x, тобто існують u ¢(xv ¢(x). Тоді в точці x мають місце такі правила:

I. Похідна суми функцій дорівнює сумі їх по­хідних:

(u(x) ± v(x))¢ = u¢(x) ± v¢(x).

II. Сталий множник можна виносити за знак похідної

(C·u(x))¢ = C·u¢(x) (C = const).

III. Похідна добутку: (u(x)·v(x))¢ = u¢(x)·v(x) + v¢(x)·u(x).

IV. Похідна частки: .

 

V. Похідна складеної функції. Нехай функція u = j(x) диференційовна в точці x, а функція y = f (u) диференційовна в точці
u = j(x). Тоді складена функція y = f (j(x)) диференційовна в точці x, причому

, або ,


1 | 2 | 3 | 4 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)