Зв’язок диференційовності і неперервності функції

Означення. Функція y = f (x) називається диференційовною в точці x, якщо вона в цій точці має похідну.

У протилежному випадку, якщо границя не існує, функція не диференційовна в точці x.

Означення. Функція y = f (x) називається диференційовна в інтервалі ] a, b [, якщо вона диференційовна в кожній точці цього інтервалу.

Дія знаходження похідної функції y = f (x)називається диферен­ціюванням функції, а розділ математики, що вивчає похідну і все, з нею пов’язане, називається диференціальним численням.

Теорема. Якщо функція y = f (x) диференційовна в точці x, то вона неперервна в цій точці.

Обернене твердження, взагалі кажучи, не має місця, тобто з не­перервності функції y = f (x)в точці x не випливає її диференційовність. Розглянемо цю ситуацію на прикладах.

Приклад. Функція визначена і неперервна на всій чис­ловій осі (як елементарна). Проте в точці x = 0 ця функція не є ди­ференційовною. Дійсно, при x = 0 і .

З точки зору геометрії крива є півкубічна парабола (рис.1), яка в точці x = 0 має вертикальну до­тич­ну (вісь Оy), кут нахилу якої
a = 90° і tg a = tg 90° не існує.

Приклад. Розглянемо функцію y = |x| (рис.2), яка також неперервна при будь-якому x, але не диференційов­на при x = 0.

Дійсно, D y = | x + D x | – | x | і

, тобто y = |x| – неперервна функція при будь-якому x.

Для визначення диференційовності цієї функції розглянемо

.

Нехай x = 0. Тоді Оскільки

то

,

тобто не існує (1 ¹ -1) і y = | x | не диференційовна при x = 0.

Геометрично цей випадок відрізняється від попереднього тим, що при x = 0 крива y = |x| не має взагалі дотичної. Ліворуч x = 0 до­тичною буде пряма y = - x (k = -1), а праворуч – пряма y = x (k = 1).

Отже, якщо y = f (x) не диференційовна при деякому x, то мо­жуть бути два випадки: або не існує взагалі (крива не має до­тичної при цьому x, рис. 2), або ця границя нескінченна (крива має вертикальну дотичну при цьому x, рис.1). В цьому випадку іноді го­ворять, що f ¢(x) = ¥. Але тоді функцію y = f (x) слід називати дифе­ренційовною в точці x, якщо вона має в цій точці скінченну похідну.

2. Основні правила диференціювання функцій

Нехай функції u (x), v (x) мають похідні при деякому значенні x, тобто існують u ¢(x)і v ¢(x). Тоді в точці x мають місце такі правила:

I. Похідна суми функцій дорівнює сумі їх по­хідних:

(u(x) ± v(x))¢ = u¢(x) ± v¢(x).

II. Сталий множник можна виносити за знак похідної

(C·u(x))¢ = C·u¢(x) (C = const).

III. Похідна добутку: (u(x)·v(x))¢ = u¢(x)·v(x) + v¢(x)·u(x).