Асимптоти графіка функції

Досі ми розглядали характерні точки графіка функції: точки екстремуму, точки перегину. Тепер розглянемо характерні лінії.

Означення 5.1. Асимптотою графіка функції називається пряма, яка має таку властивість: відстань від точки до цієї прямої стає як завгодно малою за необмеженого віддалення точки графіка від початку координат.

Розрізняють вертикальні (рис. 10, а) та похилі (зокрема горизонтальні) (рис. 10, б, в) асимптоти.

а) вертикальна асимптота; б) похила асимптота;

в) горизонтальна асимптота

Рис. 10. Асимптоти графіка функції

Визначення асимптот графіка функції ґрунтується на таких твердженнях.

Теорема 5.1. Пряма є вертикальною асимптотою графіка функції , якщо або .

Наприклад, графік функції має вертикальні асимптоти (див. додаток).
Теорема 5.2. Якщо існують скінченні границі і , то є похилою асимптотою графіка функції .

Якщо обидві границі скінченні лише коли , то пряма є відповідно тільки правосторонньою (лівосторонньою) похилою асимптотою графіка функції .

Приклад 5.1. Визначити асимптоти графіка функції .
á З області визначення “випадає” точка . Знайдемо границю функції, якщо :
, звідки – вертикальна асимптота.
Визначимо похилу асимптоту.
.
.
Отже, – похила асимптота графіка функції.

6. Загальна схема дослідження функцій
і побудова їх графіків

Вивчення характерних точок і ліній графіка функції дає можливість всебічно її дослідити і досить точно побудувати ескіз графіка. Досліджувати функцію рекомен­дується за такою схемою:
1. Знайти область визначення функції.
2.Дослідити функцію на парність – непарність, на періодичність, встановити точки перетину графіка з осями координат та інтервали знакосталості функції.
3. Проаналізувати поведінку функції в нескінченності. Знайти вертикальні та похилі асимптоти графіка функції.
4. Визначити екстремуми та інтервали монотонності функції.
5. Знайти інтервали опуклості і увігнутості функції та точки перегину.
Приклад 6.1. Виконати дослідження і побудувати графік функції .
á 1) Область визначення функції .
2) ; отже, функція ні парна, ні непарна, неперіодична. Якщо , отримуємо , тому графік проходить через точку .
, якщо , якщо (рис. 11).

Рис. 11. Проміжки знакосталості функції

3) є точкою розриву функції; , тому є вертикальною асимптотою. Знайдемо похилі асимптоти:
;
.
Отже, – похила асимптота графіка функції.
Поведінка функції, якщо : .
4) Визначимо екстремуми функції та інтервали зростання і спадання:
.
Рівняння має два корені: , які є критичними точками функції. Розв’язуючи нерівності методом інтервалів (рис. 12), отримаємо: функція зростає, якщо , спадає якщо ; – точка мінімуму, .

Рис. 12. Проміжки зростання і спадання
5) Знайдемо точки перегину та інтервали опуклості та увігнутості

Якщо функція опукла , якщо функція увігнута ; – точка перегину (рис. 13).

Рис. 13. Точки перегину функції

На основі виконаних досліджень будуємо графік функції (рис. 14).

Рис. 14. Графік функції

7. Диференціал функції.
Основні властивості диференціала

Приріст диференційованої функції можна подати у вигляді , де .
Перший доданок є головною частиною приросту функції, лінійною щодо .

Означення 7.1. Головна, лінійна щодо , частина приросту диференційовної функції називається диференціалом цієї функції і позначається символом або .

Геометричний зміст диференціала: диференціал є приростом ординати дотичної, проведеної до кривої в точці , що відповідає приросту аргументу (рис. 15).

Рис. 15. Геометричний зміст диференціала функцій

Згідно з означенням . Якщо , то , тобто диференціал незалежної змінної збігається з її приростом . Тому формулу для диференціала функції можна записати у вигляді
.
Властивості диференціала загалом аналогічні до властивостей похідної (тут – диференційовані функції, ):
1. ; 4. ;
2. ; 5. ;
3. ; 6. .

Зауважимо, що властивість 6 виражає інваріантність форми диференціала незалежно від того, чи змінна є незалежною, чи функцією іншої змінної.

Розділ 5
Дослідження функцій
за допомогою похідної

Поиск по сайту: