Корреляционный анализ. Корреляционный анализ является одним из методов статистического анализа взаимозависимости нескольких признаков

Корреляционный анализ является одним из методов статистического анализа взаимозависимости нескольких признаков.

Основная задача корреляционного анализа состоит в оценке корреляционной матрицы генеральной совокупности по выборке и определении на основе этой матрицы частных и множественных коэффициентов корреляции и детерминации.

Парный и частный коэффициенты корреляции характеризуют тесноту линейной зависимости между двумя переменными соответственно на фоне действия и при исключении влияния всех остальных показателей, входящих в модель. Они изменяются в пределах от -1 до +1, причем чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем сильнее зависимость между переменными. Если коэффициент корреляции больше нуля, то связь положительная, а если меньше нуля — отрицательная.

Множественный коэффициент корреляции характеризует тесноту, линейной связи между одной переменной (результативной) и остальными, входящими в модель; он изменяется в пределах от 0 до 1.

Квадрат множественного коэффициента корреляции называется множественным коэффициентом детерминации. Он характеризует долю дисперсии одной переменной (результативной), обусловленной влиянием всех остальных переменных (аргументов), входящих в модель.

Исходной для анализа является матрица

размерности п х k, i-я строка которой характеризует i -е наблюдение (объект) по всем k показателям (j = 1, 2,..., k).

В корреляционном анализе матрицу Х рассматривают как выборку объема п из k -мерной генеральной совокупности, подчиняющейся k- мерному нормальному закону распределения.

По выборке определяют оценки параметров генеральной совокупности, а именно: вектор средних , вектор средних квадратических отклонений s и корреляционную матрицу R порядка k:

где

(53.1)

(53.2)

x_ij — значение i -го наблюдения j -го фактора,

r_il — выборочный парный коэффициент корреляции, характеризующий тесноту линейной связи между показателями x_j и x_l. При этом r_jl является оценкой генерального парного коэффициента корреляции.

Матрица R является симметричной (r_jl = r_lj) и положительно определенной.

Кроме того, находятся точечные оценки частных и множественных коэффициентов корреляции любого порядка. Например, частный коэффициент корреляции (k - 2)-го порядка между переменными х₁ и х₂ равен

(53.3)

где R_jl — алгебраическое дополнение элемента r_jl корреляционной матрицы R. При этом R_jl = (-l) ^j+l M_jl, где M_jl — минор, т.е. определитель матрицы, получаемой из матрицы R путем вычерчивания j- й строки и l -го столбца.

Множественный коэффициент корреляции (k - 1)-го порядка результативного признака x₁ определяется по формуле

(53.4)

где | R | — определитель матрицы R.

Значимость частных и парных коэффициентов корреляции, т.е. гипотеза H₀: ρ = 0, проверяется по t -критерию Стьюдента. Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

(53.5)

где r — соответственно оценка частного или парного коэффициента корреляции ρ; l — порядок частного коэффициента корреляции, т.е. число фиксируемых факторов (для парного коэффициента корреляции l=0).

Напомним, что проверяемый коэффициент корреляции считается значимым, т.е. гипотеза H₀: ρ = 0 отвергается с вероятностью ошибки α, если t _набл по модулю будет больше, чем значение t _кр, определяемое по таблицам t -распределения для заданного α и υ = n – l - 2.

Значимость коэффициентов корреляции можно также проверить с помощью таблиц Фишера — Иейтса.

При определении с надежностью у доверительного интервала для значимого парного или частного коэффициента корреляции р используют Z -преобразование Фишера и предварительно устанавливают интервальную оценку для Z:

(53.6)

где t_γ вычисляют по таблице значений интегральной функции Лапласа из условия

значение Z' определяют по таблице Z -преобразования по найденному значению r. Функция Z' — нечетная, т.е.

Обратный переход от Z к ρ осуществляют также по таблице Z -преобразования, после использования которой получают интервальную оценку для ρ с надежностью γ:

Таким образом, с вероятностью γ гарантируется, что генеральный коэффициент корреляции ρ будет находиться в интервале (r _min, r _max).

Значимость множественного коэффициента корреляции (или его квадрата — коэффициента детерминации) проверяется по F -критерию. Например, для множественного коэффициента корреляции проверка значимости сводится к проверке гипотезы, что генеральный множественный коэффициент корреляции равен нулю, т.е. H₀: ρ_1/2,…,k = 0, а наблюдаемое значение статистики находится по формуле

(53.7)

Множественный коэффициент корреляции считается значимым, т.е. имеет место линейная статистическая зависимость между х₁ и остальными факторами х₂,..., х_k, если F _набл > F _кр, где F _кр определяется по таблице F -распределения для заданных α, υ₁ = k - 1, υ₂ = n - k.

Поиск по сайту: