Тарау. МЕХАНИКА НЕГІЗДЕРІ

Дененiң таңдап алынған санақ жүйесiндегi жасайтын үздiксiз сызығын траектория деп атайды. Траекториясына байланысты қозғалыс түзу сызықты және қисық сызықты болып екіге бөлiнедi.

Дененiң траектория бойымен жүрiп өткен ара қашықтығын жол деп атайды.

Дененiң бастапқы және соңғы орындарын қосатын векторды орын ауыстыру деп атайды.

Кеңiстiк - материямен байланысты және шексiз, шетсiз. Кеңiстiктiң негiзгi қасиеттерi: объективтi бар болуы, материямен бiртұтастығы, шексiздiгi, ұзындығы, үш өлшемдiлiгi (барлық физикалық объектiлердiң ұзындығы, енi және биiктiгi болады).

Дене қозғалады, яғни өз орнын тек кеңiстiкте өзгертiп қана қоймай, уақыт бойынша да өзгертедi.

Уақыттың негiзгi қасиеттерi: объективтi бар болуы, үздiксiздiгi, бiр қалыптылығы, бiр ырғақтылығы (уақыт тек алға өткеннен болашаққа қарай жылжиды).

Уақыт материямен, қозғалыспен және кеңiстiкпен тығыз байланысты.

Санақ жүйесi деп - санақ денесiмен байланысқан координаттар жүйесiн және уақытты айтады.

1.1.Ілгерiлемелi қозғалыс

Дене оның кез-келген екi нүктесiн қосатын түзу сызық орын ауыстыра келiп, өзiнiң бастапқы бағытына параллель болып қалатындай қозғалуы мүмкiн. Қатты дененiң осындай қозғалысын iлгерiлемелi қозғалыс деп атайды. Ілгерiлемелi қозғалыс кезiнде дененiң барлық нүктелерi бiрдей траектория сызады және бiрдей уақыт iшiнде бiрдей орын ауыстырады.

Дене кез-келген бiрдей уақыт аралығында бiрдей қашықтық өтетiн болса, ондай қозғалысты бiр қалыпты қозғалыс деп атайды.

1.2.Қозғалыс жылдамдығы

Қозғалыстың екпiндiлiгiн, шапшаңдығын және бағытын анықтайтын физикалық векторлық шаманы жылдамдық деп атайды. Өлшем бірлігі

Жылдамдықтың бағыты орын ауыстырудың бағытына сәйкес келедi. Ал қисық сызықты қозғалыс кезiнде жылдамдықтың бағыты траекторияға жанама бойымен бағытталады.

Түзу сызықты бiр қалыпты қозғалыстағы орын ауыстыру формуласы:

.

Дененiң белгiлi уақыт аралығында жасаған орын ауыстыруының уақытқа қатынасын орташа жылдамдық деп атайды.

.

Дәл сол уақыт мезетiндегi, кеңiстiктiң сол нүктесiндегi дененiң жылдамдығын лездiк жылдамдық деп атайды.

мұндағы: - яғни, лездiк жылдамдық радиус вектордан уақыт бойынша алынған бiрiншi туындысына тең болады.

1.3.Бiр қалыпты айнымалы қозғалыс

Кез-келген бiрдей уақыт аралығында қозғалыс жылдамдығы сәйкес бiрдей шамаға өзгерiп отыратын қозғалысты бiр қалыпты айнымалы қозғалыс деп атайды.

Егер жылдамдық бiрдей шамаға артатын болса, онда қозғалысты бiр қалыпты үдемелi деп, ал егер жылдамдық бiрдей шамаға кемитiн болса, онда қозғалысты бiр қалыпты кемiмелi деп атайды. Олай болса, бiр қалыпты айнымалы қозғалыстар бiр-бiрiнен жылдамдықтың өзгеру шапшаңдығына қарай ажыратылады. Қозғалыстың осы қасиетiн сипаттау үшiн физикалық векторлық шама үдеу енгiзiлген.

Үдеу қозғалыс жылдамдығының өзгеруiнiң осы өзгерiс болып өткен уақытқа қатынасымен өлшенедi.Өлшем бірлігі .

Үдеудiң бағыты жылдамдықтың өзгерiсiнiң бағытына сәйкес келедi, сондықтан үдеу векторлық шама.

Үдеу жылдамдықтың уақыт бойынша бiрiншi туындысына немесе радиус вектордың уақыт бойынша екiншi туындысына тең болады.

.

Бiр қалыпты айнымалы қозғалыстың лездiк жылдамдығы

,

ал қозғалыс теңдеуi

.

Жазық қозғалыс кезiнде дененiң үдеуiн нормаль және тангенциал деп аталатын екi құраушыға жiктейдi.

.

Толық үдеудiң модулi: .

Жылдамдықтың модулi бойынша өзгеру шапшаңдығын сипаттайтын үдеу құраушысын тангенциал немесе жанама үдеу деп атайды.

.

Тангенциал үдеу траекторияға жанама бойымен бағытталады.

Дененiң жылдамдығының бағытының өзгеру шапшаңдығын сипаттайтын үдеудi нормаль үдеу деп атайды.

.

Жазық қозғалыс кезiндегi дененiң толық үдеуiнiң модулi:

.

1.4.Шеңбер бойымен бiр қалыпты қозғалыс

Дененiң шеңбер бойымен қозғалысын бұрыштық жылдамдықпен сипаттайды. Шеңбердiң центрiнен материялық нүктеге жүргiзiлген радиус осы уақыт iшiнде бұрыш сызады, оны бұрыштық ығысу немесе бұрыштық орын ауыстыру деп атайды .

Бұрыштық жылдамдық бұрыштық орын ауыстырудың осы орын ауыстыруға кеткен уақытқа қатынасына тең. Өлшем бірлігі .

.

Бұрыштық жылдамдықтың бағыты бұрыштық орын ауыстырудың бағытымен сәйкес келедi.

Дененiң шеңбер бойымен бiр қалыпты қозғалысын сипаттау үшiн айналу жиiлiгi және периоды енгiзiлген.

Дененiң шеңбер бойымен толық айналымға кеткен уақытын айналу периоды деп айтады. Өлшем бірлігі .

,

мұндағы: уақыт ішінде жасалынатын N- айналым саны.

Айналу жиiлiгi деп дененiң айналу центрiнiң маңында бiр секунд iшiнде жасайтын айналым санын айтады. Өлшем бірлігі .

.

Сөйтiп, период пен жиiлiктiң бiр-бiрiне керi шама екенiн байқаймыз.

периодқа тең уақытта бұрыштық орын ауыстыру -ге тең болады. Сондықтан бұрыштық жылдамдық немесе ескерсек, .

Шеңбер бойымен бiрқалыпты қозғалған дененiң сызықтық жылдамдығы модулi жағынан тұрақты, ал бағыты бойынша үздiксiз өзгерiп отырады және траекторияның кез-келген нүктесiне жүргiзiлген жанаманың бойымен бағытталады. Бiрқалыпты қозғалыс кезiнде сызықтық жылдамдықтың модулi тұрақты болғандықтан, оның шамасын мына формуламен анықтауға болады:

.

Бiр айналым iшiнде (t=T) дене шеңбердiң доғасының ұзындығына тең ара қашықтықты жүрiп өтедi:

.

Сондықтан немесе екенiн ескерсек, .

Сызықтық және бұрыштық жылдамдықтар арасындағы байланыс:

Сонымен, , яғни шеңбер бойымен бiрқалыпты қозғалыс кезiндегi сызықтық жылдамдық бұрыштық жылдамдықпен радиустың көбейтiндiсiне тең болады.

§2. Динамика

Денелердiң өзара әсерлесуiн және осы әсерлесуден пайда болатын қозғалыстарды зерттейтiн механиканың бөлiмiн – динамика деп атайды. Динамиканың негiзiне 1687 жылы Ньютон тұжырымдаған қозғалыс заңдары жатады.

2.1.Ньютонның 1-шi заңы

Денеге басқа денелер әсер етпесе немесе олардың әсерлерi өзара теңессе дене тыныштық күйде болады немесе өзiнiң түзу сызықтық бiрқалыпты қозғалысын сақтайды.

Дененiң қозғалыс жылдамдығының бағыты мен шамасын сақтау құбылысын – инерция деп атайды, ал денелердiң бұл қасиетiн инерттiлiк дейдi.

Денелердiң инерттiлiгiнiң сандық мөлшерi ретiнде физикалық скаляр шама масса енгiзiлген .

Ньютонның 1-шi заңы орындалатын санақ жүйесiн инерциялық санақ жүйесi деп атайды. (и.с.ж.)

Мысалы инерциялық санақ жүйесiне - гелиоцентрлiк санақ жүйесi жатады.

Кез-келген үдеумен қозғалатын санақ жүйесi инерциялық санақ жүйесi болып табылмайды.

2.2.Күш

Денелердiң өзара әсерлесуiнiң сандық сипаттамасы ретiнде физикалық векторлық шама - күш енгiзiлген. Өлшем бірлігі ,

Денелер өзара әсерлескенде келесi құбылыстар байқалады:

1. Дене үдеу алады.

2. Денелер деформацияланады.

3. Жоғарыдағы екi құбылыс бiр мезгiлде жүредi.

Денеге бiрнеше күштер әсер еткен жағдайда денеге әсер ететiн тең әсерлi күш - жеке күштердiң векторлық қосындысына тең.

.

Мысалы, суреттегi F күшi шаңғышыға әсер ететiн ауырлық күшi мен нормаль қысым күштерiнiң векторлық қосындысы- тең әсерлi күшi болып табылады.

Бойымен күш әсер ететiн түзудi – күштiң әсер ету сызығы деп атайды.

2.3.Ньютонның екiншi заңы

Ньютонның екiншi заңы денелердiң өзара әсерлесуi және iлгерiлемелi қозғалысы кезiнде оларда болатын өзгерiстерiнiң байланысын сипаттайды. Сондықтан бұл заң iлгерiлемелi қозғалыс динамикасының негiзгi заңы бола отырып, былай тұжырымдалады: денеге әсер ететiн күш - дененiң массасы мен алатын үдеуiнiң көбейтiндiсiне тең болады.

Олай болса, бұл заң мына түрде жазылады:

.

Күштердiң тәуелсiздiк принципi.

Денеге бiрнеше күш әсер еткен жағдайда әрбiр жеке күштiң беретiн үдеуi басқа күштерге тәуелсiз болады.

Көптеген тәжiрибелердiң қорытындысы берiлген дененiң массасы неғұрлым үлкен болса, соғұрлым ол денеге белгiлi бiр үдеу беру үшiн көбiрек күшпен әсер ету керек екендiгiн дәлелдедi. Екiншi сөзбен айтқанда, дененiң массасы неғұрлым үлкен болса, ол соғұрлым инерттi деп есептелiп, оның қозғалыс күйiн өзгерту үшiн көбiрек күш қажет болатындығы байқалды. Сонымен, масса дененiң инерттiк мөлшерi болып және оның динамикалық сипатын бiлдiредi. Ендi Ньютонның екiншi заңын айтылған пiкiрлердi ескере отырып, былай тұжырымдауға болады: дененiң алған үдеуi әсер етушi күшке тура пропорционал, дене массасына керi пропорционал және әсер етушi күштiң бағыты бойынша өзгередi.

.

Ньютонның екiншi заңын басқа түрде де жазып көрсетуге болады. Ол үшiн кинематика бөлiмiндегi үдеудiң мәнiн ескеретiн болсақ, онда

,

немесе

.

Ньютонның осы түрдегi жазылған формулалары динамиканың негiзгi заңы және шын мәнiнде қозғалыстың динамикалық және кинематикалық сипатын көрсетедi. Сонымен қатар, қозғалыс теңдеуiн дифференциал түрде жазуға мүмкiндiк бередi.

Дененiң қозғалыс мөлшерi немесе дене импульсi деп – дене массасының жылдамдығына көбейтiндiсiне тең шаманы атайды. Дененiң импульсiнiң бағыты қозғалыс жылдамдығының бағытымен сәйкес келедi, яғни .

Сондықтан,

,

яғни, бұл Ньютонның 2-шi заңының дифференциал түрi.

Денеге әсер ететiн күш дененiң импульсiнiң өзгеру жылдамдығына тең болады.

Ньютонның бiрiншi және екiншi заңын қолдану кезiнде бұл заңдылықтар тек инерциялық жүйеде ғана орындалатынын ескерген жөн. Байқап қарасақ, Ньютонның бiрiншi заңы екiншi заңының дербес түрi болып шығады, оны былайша түсiндiруге болады , егер болса, онда дене үдеу алмайды да, , дене өзiнiң бастапқы тыныштық немесе бiрқалыпты түзу сызықты қозғалыс күйiн сақтайды, яғни инерция заңына айналады.

Тағы бiр ескеретiн жай: Ньютонның екiншi заңдылығындағы күштi берiлген массасы денеге әсер етушi барлық күштердiң тең әсерлi күшi деп түсiну керек:

.

Сонымен, Ньютонның екiншi заңынан анықталатын масса денелердiң инерциялық қасиетiн сипаттайды.

2.4.Ньютонның 3-шi заңы

Ньютонның үшiншi заңы оның екiншi заңын толықтыра түседi және денелердiң қозғалыс күйлерiн өзгерiске ұшырататын өзара әсер екендiгiн көрсетедi. Бұл заң былай тұжырымдалады: әсерлесушi екi дененiң бiр-бiрiне әсерi әр уақытта сан жағынан тең, ал бағыттары жағынан қарама-қарсы болады, яғни

.

Мұнда сөз болып отырған және күштерi әр түрлi денелерге әсер ететiндiктен, олар бiр-бiрiне теңгерiлмейдi. Сондықтан оларды қосуға болмайтынын атап көрсету қажет. Бiрақ белгiлi бiр жүйенi қарастырғанда денелердiң арасындағы өзара әсерлесу күштерiн қосуға болады, әрi олардың қосындысы әрдайым нольге тең. Бұл жүйеге қатысты iшкi күштер болады, олар жүйенiң қозғалыс мөлшерiн өзгерте алмайды.

2.5.Бүкiл әлемдiк тартылыс заңы

Денелердiң бiр-бiрiне тартылыс күшi осы денелердiң массаларының көбейтіндісіне тура пропорционал және денелердiң ара қашықтықтарының квадратына керi пропорционал болады

,

мұндағы: - гравитациялық тұрақты деп аталады.

Тартылыс күшi - центрлiк күштерге жатады, яғни денелердiң центрлерiн қосатын түзудiң бойымен бағытталады.

Ньютонның бүкiл әлемдiк тартылыс заңымен анықталатын гравитациялық масса деген ұғым бар.

Бұл масса денелердiң тартылыс өрiстерiн қоздыру және тартылыс өзгерiстерiнiң әсерiн сезiну қабiлетiн сипаттайды. Сонда бұл қандай масса? Дәл өлшеулердiң нәтижесiнде инерттiк масса гравитациялық массаға тең екенi анықталды. Сондықтан оларды ерекше бөлудiң қажетi жоқ.

Денелердiң бiр-бiрiмен тартылу күшi материяның ерекше бiр түрi гравитациялық өрiс арқылы берiледi. Гравитациялық өрiстi сандық сипаттау үшiн гравитациялық өрiстiң кернеулігі деп аталатын шама енгiзiлген. Өлшем бірлігі .

.

Гравитациялық өрiстiң кернеулiгi осы өрiсте орналасқан бiрлiк массалы денеге әсер ететiн күшке тең болады.

Бiр-бiрiмен әсерлесiп, жүйеге кiрмейтiн денелермен әсерлеспейтiн жүйенi тұйық немесе оқшауланған жүйе деп атайды.

Тұйық жүйедегi денелердiң өзара әсерлесуi кезiнде үш физикалық шама сақталады.

1. Импульс

2. Энергия

3. Импульс моментi

Сондықтан тұйық жүйелерде үш сақталу заңы орындалады.

1. Импульстiң сақталу заңы.

2. Энергияның сақталу заңы.

3. Импульс моментiнiң сақталу заңы.

Энергияның сақталу заңының негiзiне уақыттың бiртектiлiгi жатады, яғни кез-келген уақыт мезеттерiнiң бiрдейлiгi.

Импульстiң сақталу заңының негiзiне кеңiстiктiң кез-келген нүктелерiнiң қасиеттерiнiң бiрдейлiгi жатады.

Импульс моментiнiң сақталу заңының негiзiне кеңiстiктiң изотроптығы, яғни кеңiстiктiң бағыттарының қасиеттерiнiң бiрдейлiгi жатады.

3.1.Импульстiң сақталу заңы

Механикалық жүйенiң толық импульсi жүйеге кiретiн жеке денелердiң импульстарының векторлық қосындысына тең.

.

Тұйық жүйедегi денелердiң өзара әсерлесуінен пайда болатын iшкi күштерiнiң қосындысы нольге тең.

.

Тұйық жүйенiң толық импульсi тұрақты болады.

.

3.2.Энергияның сақталу заңы

Денелердiң әртүрлi қозғалыстарының және өзара әсерлесулерiнiң әмбебап сандық сипаттамасы ретiнде физикалық скаляр шама энергия енгiзiлген.

Табиғатта әртүрлi қозғалыстарға сәйкес энергияның механикалық, iшкi, электромагниттiк, атомдық, ядролық, биологиялық, химиялық және тағы басқа түрлерi кездеседi.

Денелердiң механикалық қозғалысын және оған сәйкес келетiн әсерлесулердiң сипаттамасы механикалық энергия болып табылады. Денелердiң қозғалыс жылдамдығы өзгергенде немесе денелердiң өзара әсерлесулерiнiң сипаты өзгергенде - энергиясы өзгередi.

Энергияның өзгерiсiн сипаттау үшiн физикалық шама жұмыс енгiзiлген.

Жұмыс деп – күш пен орын ауыстыру векторларының скаляр көбейтiндiсiн айтады.

Тұрақты күштің жұмысы келесі формуламен анықталады:

.

Айнымалы күштің жұмысы элементар орын ауыстыру кезінде келесі формуламен анықталады:

.

Ал айнымалы күштің толық жұмысы формуласымен есептелінеді.

Үйкелiс, кедергi күштерiнiң жұмысы әрқашан терiс болады(сурет).

Дене орын ауыстырмаған жағдайда немесе күш орын ауыстыруға перпендикуляр болса күш жұмыс атқармайды. Мысалы суретте көрсетілген жағдайда ауырлық күшінің жұмысы нольге тең болады.

Күш жұмысы суретте көрсетілгендей қисықпен шектелген ауданға тең болады.

Жұмыстың атқару жылдамдығын сипаттау үшiн физикалық шама қуат енгiзiлген. Өлшем бірлігі .

.

Атқарылған пайдалы жұмыстың толық жұмысқа қатынасын пайдалы әсер коэффициентi (ПӘК) деп атайды.

%.

Механикалық энергия кинетикалық және потенциалдық болып бөлiнедi.

Кинетикалық энергия - қозғалыстың сандық мөлшерi болып табылады. Қозғалыстағы дененiң энергиясын кинетикалық энергия деп атайды.

.

Ал потенциалды күштің жұмысы кинетикалық энергиясының өзгерісіне тең болады, яғни

.

Денелердiң өзара орналасуына тәуелдi әсерлесу энергиясын потенциалдық энергия деп атайды.

Потенциалды күштердiң атқаратын жұмысы – терiс таңбамен алынған потенциалдық энергияның өзгерiсiне тең.

немесе

Жұмысы дененiң траекториясына тәуелсiз, тек дененiң бастапқы және соңғы орындарына ғана тәуелдi күштердi потенциалды және консервативтi күштер деп атайды. Тұйық траекториядағы потенциалды күштердiң жұмысы нольге тең болады. Мысалы, а-в траеториясындағы ауырлық күшiнiң жұмысы нольге тең.

Потенциалдық энергияның математикалық өрнегi әсерлесулердiң сипатына тең болады.

1. Ауырлық күшi өрiсiндегi дененің потенциалдық энергия.

.

- дене Жердiң радиусымен салыстырғанда аз биiктiкте орналасқанда қолданылады.

2. Гравитациялық өрiстегi денелердiң әсерлесу энергиясы

.

3. Серпiмдi деформацияланған дененiң потенциалдық энергиясы

.

Толық механикалық энергия деп дененiң кинетикалық және потенциалдық энергияларының қосындысын айтады.

Тұйық жүйеге тек консервативті күштер әсер еткенде толық механикалық энергия тұрақты болады.

.

3.3.Импульс моментiнiң сақталу заңы

Дененiң белгiлi бiр нүктеге қатысты импульс моментi деп нүктенiң белгiлi бiр О нүктесiне қатысты радиус-векторының дененiң импульсiне векторлық көбейтiндiсiне тең шаманы айтады. Өлшем бірлігі .

.

Бөлшектердiң қозғалыс траекториясына тәуелсiз олардың импульс моментi болады.

1. Бөлшек түзу сызықпен қозғалыста болсын (сурет).

Импульс моментiнiң модулi тек бөлшектiң қозғалыс жылдамдығы өзгерген жағдайда өзгередi.

2. Бөлшек радиусы шеңбер бойымен қозғалыста болсын (сурет).

Бөлшектiң шеңбер центрiне қатысты импульс моментi .

Механикалық жүйенiң импульс моментi жүйеге кiретiн жеке денелердiң импульс моменттерiнiң векторлық қосындысына тең болады.

.

Импульс моментiнiң сақталу заңы келесі түрде айтылады:

Тұйық жүйенiң толық импульс моментi жүйедегi өзгерiстер кезiнде тұрақты болады.

.

Дененiң белгiлi бiр нүктеге қатысты күш моментi деп дененiң радиус векторының немесе күш иiнiнiң түсiрiлген күшке векторлық көбейтiндiсiне тең шаманы айтамыз (сурет). Өлшем бірлігі .

.

Күш моменті скаляр түрде формуласымен өрнектеледі.

Мұндағы - күш иiнi, яғни О нүктесiнен күштiң түсу нүктесiне дейiнгi ең аз қашықтық.

§4. Қатты дене механикасы