|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Локальный экстремум
Определение 1. Пусть , . Говорят, что функция имеет в точке локальный максимум, если найдется такое, что: 1) 2) Локальный максимум называется строгим, если найдется такое, что
Аналогично определяется понятие локального минимума и строгого локального минимума. Точки локального минимума и локального максимума называются точками локального экстремума. Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Пусть точка локального экстремума. Если существует , то . Определение 2. Точка , внутренняя для множества , называется критической (стационарной) точкой функции , если в ней существуют и равны нулю все частные производные первого порядка. Каждая точка локального экстремума является критической. Обратное неверно. Пример 1. Пусть Тогда точка - критическая точка функции , но не точка локального экстремума этой функции. Достаточное условие локального экстремума. Определение3. Матрица размера называется положительно определенной, если произведение Теорема 2 (Критерий Сильвестра положительной определенности матрицы). Пусть Матрица положительно определена тогда и только тогда, когда Определение 4. Матрица размера называется отрицательно определенной, если произведение Очевидно, матрица отрицательно определена тогда и только тогда, когда матрица положительно определена. Теорема 3 (Критерий отрицательной определенности матрицы). Матрица отрицательно определена тогда и только тогда, когда
Определение5. Матрица называется неопределенной, если найдутся такие, что Теорема 4. Пусть - открытое множество, , . Допустим, что функция в каждой точке множества имеет все частные производные до второго порядка включительно и эти производные непрерывны. Пусть - критическая точка функции . Тогда: 1) если матрица положительно определена, то есть точка строгого локального минимума; 2) если матрица отрицательно определена, то есть точка строгого локального максимума; 3) если матрица является неопределенной, то не является точкой локального экстремума. Случай . Рассмотрим функцию двух переменных, для которой - критическая точка. Матрица вторых производных имеет вид . Положим , . Логически возможны три случая: Случай 1: Случай 2: Случай 3: В первом случае Если , то - точка строгого локального минимума. Если , то - точка строгого локального максимума. Во втором случае дискриминант квадратного трехчлена положителен. Следовательно, найдутся и такие, что
Значит матрица является неопределенной, и локального экстремума в точке нет. В третьем случае в точке экстремум может как быть, так и не быть. Пример 2. Пусть . Тогда Следовательно точка критическая. Очевидно, у функции в точке экстремума нет. Так как то в точке , и тем самым
Пример 3. Пусть Очевидно, у функции в точке экстремум, Поэтому Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |