АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Частные производные высших порядков

Читайте также:
  1. II. Разделы социологии: частные социальные науки
  2. Архивы высших учреждений
  3. Базидиальные грибы, особенности биологии как высших представителей грибов, систематика, значение в природе и для человека.
  4. Высших учебных заведений
  5. Высших учебных заведений
  6. Глава III. Физкультурно-оздоровительная работа и развитие спорта высших достижений
  7. Д.у. высших порядков
  8. ДИАЛЕКТИКА И ЧАСТНЫЕ НАУКИ
  9. Для высших учебных заведений
  10. Для студентов высших учебных заведений
  11. Защита от замыкания на использовании высших гармоник
  12. Здоровье, физическая форма и несчастные случаи

Пусть - открытое множество, . Предположим, что на множестве (т.е. в каждой точке множества ) существует частная производная . Может оказаться, что функция в точке имеет частную производную по переменной . Тогда эта производная называется частной производной второго порядка функции в точке и обозначается одним из символов . При выполнении соответствующих условий аналогично определяются частные производные порядка . Частная производная, взятая сначала по , затем по и т.д. обозначается . Если среди индексов имеются различные, то частная производная называется смешанной. Если , первые индексов совпадают с , последующие индексов совпадают с и т.д., то обозначают .

Пример 1. Пусть Тогда:

В рассмотренном примере смешанные производные и , разнящиеся последовательностью дифференцирований, совпадают. Покажем на примере, что подобное совпадение не всегда имеет место.

Пример 2. Пусть

Найдем . Если , то Для нахождения производной в точке надо, согласно определению, продифференцировать функцию по и затем положить равным нулю. Так как , то , и тем самым Для определения мы должны продифференцировать по функцию а затем положить равным нулю. Имеем

Таким образом, откуда и тем самым

Теперь найдем Если то

Для нахождения производной в точке надо, согласно определению, продифференцировать функцию по а затем положить Так как

, то и тем самым Для определения в точке мы должны продифференцировать функцию по а затем

положить Имеем

Таким образом, и тем самым Значит

Возникает вопрос: каковы достаточные условия, при которых значения смешанных производных не зависят от последовательности дифференцирования?

Теорема 1. Пусть Допустим, что функция имеет на всевозможные частные производные до порядка включительно и смешанные производные -го порядка, причем все эти производные непрерывны. Тогда значение любой -той смешанной производной не зависит от порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)