|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Частные производные высших порядковПусть - открытое множество, . Предположим, что на множестве (т.е. в каждой точке множества ) существует частная производная . Может оказаться, что функция в точке имеет частную производную по переменной . Тогда эта производная называется частной производной второго порядка функции в точке и обозначается одним из символов . При выполнении соответствующих условий аналогично определяются частные производные порядка . Частная производная, взятая сначала по , затем по и т.д. обозначается . Если среди индексов имеются различные, то частная производная называется смешанной. Если , первые индексов совпадают с , последующие индексов совпадают с и т.д., то обозначают . Пример 1. Пусть Тогда: В рассмотренном примере смешанные производные и , разнящиеся последовательностью дифференцирований, совпадают. Покажем на примере, что подобное совпадение не всегда имеет место. Пример 2. Пусть Найдем . Если , то Для нахождения производной в точке надо, согласно определению, продифференцировать функцию по и затем положить равным нулю. Так как , то , и тем самым Для определения мы должны продифференцировать по функцию а затем положить равным нулю. Имеем Таким образом, откуда и тем самым Теперь найдем Если то Для нахождения производной в точке надо, согласно определению, продифференцировать функцию по а затем положить Так как , то и тем самым Для определения в точке мы должны продифференцировать функцию по а затем положить Имеем Таким образом, и тем самым Значит Возникает вопрос: каковы достаточные условия, при которых значения смешанных производных не зависят от последовательности дифференцирования? Теорема 1. Пусть Допустим, что функция имеет на всевозможные частные производные до порядка включительно и смешанные производные -го порядка, причем все эти производные непрерывны. Тогда значение любой -той смешанной производной не зависит от порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |