Связь между дифференцируемостью и существованием частных производных
Напомним, что для функций одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке. Для функций многих переменных дифференцируемость и существование частных производных не являются эквивалентными свойствами.
Теорема 1(необходимое условие дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке , то у нее в точке существуют все частные производные. При этом , и тем самым
,
где = .
Обратная теорема неверна, т.е. существование частных производных не является достаточным условием дифференцируемости функции.
Пример 1. Рассмотрим функцию
Функция в точке разрывна, поэтому она в точке не может быть дифференцируемой. Так как , и , то существуют и равны нулю и , а это и есть и соответственно.
Теорема 2 (достаточное условие дифференцируемости).
Если функция в некоторой окрестности точки имеет все частные производные и эти производные в точке непрерывны, то функция в точке дифференцируема. 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | Поиск по сайту:
|