Решение поставленной задачи

а) выборочные средние , (несмещеннные оценки математического ожидания) и смещеннные оценки дисперсии s² _х ⁼ var (x),

s²_у = var (y) для каждой переменнойрассчитываются по формулам:

= , =

s² _х ⁼ var (x) = , s²_у= var (y) =

.

Примечание 1. Во всех формулах, где опущены индексы суммирования, оно проводится от 1 до n, то есть символ означает

На рис. 1 показан пример применение функций describe[mean] и [describe[variance[1]](data1),describe[variance[1]](data2)] для расчета выборочных средних значения и дисперсий.

Рисунок 1

б) выборочная ковариация cov (x, y) рассчитывается по формуле:

cov (x, y)=

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи между зависимой величиной Y и независимой X, в качестве которого выступает линейный коэффициент корреляции r_xy, рассчитываемый по формуле:

r_xy= = ,

- 1£ rxy £+1

Коэффициент корреляции является относительной мерой связи между двумя переменными. Нетрудно заметить, что r_xy совпадает по знаку с b₁. По значению r_xy формулируется вывод о количественной мере линейной связи между переменными x и y.

Отметим основные свойства коэффициента корреляции:

§ -1£r_xy£1. Если коэффициент регрессии b₁>0, то 0£r_xy£1 и корреляционная связь между переменными называется прямой. И, наоборот, при b₁<0, -1£r_xy£0 – связь называется обратной.

§ в зависимости от того, насколько абсолютная величина приближается к 1, различают виды связи от слабой до весьма тесной. Чем ближе r_xy ®±1, тем сильнее связь, в противном случае, когда коэффициент корреляции стремится к 0 – связь отсутствует.

§ если все значения переменных увеличить (уменьшить) на одно и тоже число или в одно и то же число раз, то величина r_xy не изменится.

§ при r_xy=0 линейная корреляционная связь отсутствует. Если r_xy= ±1, то можно сделать вывод о том, что между x и y существует точная функциональная линейная зависимость, направление которой определяется знаком r_xy. В этом случае линейная регрессия должна точно проходить через все точки выборки (x_i, y_i), i =1,2,..., n и остаточная сумма квадратов (MSE), вычисленная по уравнению регрессии должна равняться нулю.

При помощи пакета Maple рассчитывается выборочная ковариация и коэффициента корреляции при помощи следующих функций describe[covariance](data1, data2) и describe[linearcorrelation](data2, data1) (рис. 2)

Рисунок 2

в) определяем неизвестные параметры модели двумя способами:

Параметры регрессии определяются исходя из метода наименьших квадратов (МНК).

МНК позволяет получить такие оценки параметров b₀ и b₁, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (у) от расчетных (теоретических) минимальна:

Иными словами, из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной:

, следовательно,

Чтобы найти минимум функции, надо вычислить частные производные по каждому из параметров b₀ и b₁ и приравнять их к нулю.

Обозначим через F: F=

Запишем необходимые условия экстремума:

,

или

Преобразуем формулу, раскрыв скобки, и получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (для краткости опустим индексы суммирования у знака суммы) состоящую из двух уравнений:

.

Применяя пакет Maple при помощибиблиотеки Linalg (рис3).

Рисунок 3

И при помощи библиотеки stats функции fit пакета Maple построим регрессионную модель вида (рис. 4).

Рисунок 4

2. Регрессионная модель представлена графически на рис. 5-6.

Рисунок 5

Рисунок 6

Поиск по сайту: