Единичная грань в кристаллах разных сингоний

Масштабы по осям координат, а значит, и единичную грань, нельзя брать произвольно. Соотношения единиц измерения по координатным осям должны согласовываться с симметрией кристалла, как об этом говорилось в разделе 5.2. Общее правило для выбора единичной грани следующее: единичная грань должна пересекать все три координатных оси в соответствии со степенью эквивалентности осей – т.е. отсекать равные отрезки на эквивалентных осях (совмещаемых элементами симметрии кристалла), и неравные отрезки на неэквивалентных осях (не совмещаемых элементами симметрии кристалла). Разберем это положение конкретно для кристаллов разных сингоний.

Кубическая сингония. Все три координатных оси эквивалентны (совмещаются осями третьего порядка). Поэтому единичная грань должна отсекать на них равные отрезки, т.е. быть равно наклонной к координатным осям. Такому требованию отвечают грани тетраэдра или октаэдра (в зависимости от вида симметрии кристалла). Эти грани и являются единичными гранями в кристаллах кубической сингонии, с символом (111). На стереограмме проекция единичной грани занимает строго определенное положение – на выходе оси третьего порядка (рис. 5.10а). На самом деле при индицировании граней кристалла кубической сингонии нет необходимости в единичной грани. На кристалле этих граней может и не быть, и это никак не затрудняет индицирование. Действительно, так как единицы измерения по всем трем координатным осям одинаковы a=b=c, то индексы Миллера индицируемой грани просто равны отношению обратных величин отрезковA,B,C, отсекаемых гранью на координатных осях: h: k: l = a /A: b /B: c /C = 1/A: 1/B: 1/C.

Тетрагональная сингония. Горизонтальные координатные оси XиY эквивалентны, и не эквивалентны третьей оси Z. Поэтому единичная грань должна отсекать равные отрезки по осям Xи Y, и другой по величине отрезок по осиZ, т.е. a=b≠c. На стереограмме проекция единичной грани лежит на биссектрисе угла между осями Xи Y, т.е. единичная грань равно наклонна к этим осям (рис. 5.10б). Однако наличие такой грани не обязательно. Достаточно, чтобы имелась грань, пересекающая только две неэквивалентных оси XиZ или Yи Z, так как масштабы по осям Xи Y равны. Такие грани также можно рассматривать как единичные, поскольку они однозначно задают масштабы по осям, хотя и не все индексы в их символах – единицы. Символы этих граней, соответственно, (101) и (011).

Ромбическая, моноклинная, триклинная сингонии. Все три координатных оси неэквивалентны, и единичная грань должна отсекать на трех осях неравные отрезки, a≠b≠c. В принципе, любую грань, пересекающую все три координатных оси, можно выбрать за единичную. На стереограмме проекция единичной грани лежит в общем случае несимметрично относительно выходов координатных осей (рис. 5.10в,г).

Тригональная и гексагональная сингонии. Для этих сингоний координатная система – четырехосная. Три горизонтальных координатных оси X, Y, Wэквивалентны, так как совмещаются главной осью симметрии. Четвертая координатная ось Z не эквивалентна горизонтальным осям. По дополнительной координатной оси W вводится четвертый индекс i, т.е. символы граней в этих сингониях четырехчленные, (hkil). Однако четвертый индекс i не является независимым. Легко показать, что h+k=-i, или h+k+i =0 (см. доказательство в учебниках по кристаллографии).

Единицы измерения по трем горизонтальным координатным осям X, Y, Wдолжны быть одинаковы и отличны от масштаба по четвертой оси Z: a=b=(d)≠c. Однако понятно, что никакая плоскость не может отсекать равные отрезки по трем горизонтальным координатным осям. Поэтому единичную грань выбирают так, чтобы она отсекала одинаковые отрезки по любым двум из трех горизонтальных координатных осей – либо по X, Y, либо по X,W (или по Y, W, что равнозначно).

В первом случае (рис. 5.13) единичная грань отсекает на отрицательном конце оси W отрезок вдвое меньший, чем на осях X и Y. Соответственно, индекс по оси W будет вдвое больше, и символ единичной грани – (112̅1). Во втором варианте единичная грань параллельна одной из горизонтальных осей X или Y (рис. 5.13), индекс по этой оси равен нулю, и символ единичной грани – (101̅1) либо (011̅1). Положение проекций единичных граней на стереограмме показано на рис. 5.13.

Единичная грань на кристалле любой сингонии, кроме кубической, может быть выбрана по-разному (при достаточно богатой огранке кристалла). Так, для тетрагонального кристалла, изображенного на рис. 5.11, за единичную грань может быть выбрана как грань тетрагональной пирамиды 1, так и грань другой тетрагональной пирамиды 2. Понятно, что смена единичной грани ведет и к изменению символов остальных граней, так как меняются масштабные отрезки по осям координат.

Поиск по сайту: