Кристаллографические координатные системы

Символьная характеристика граней

В предыдущем разделе для описания морфологии кристаллов использовались стереографические проекции. Проекция дает наглядное и вполне адекватное представление об огранке кристалла, за исключением относительного развития разных граней. Недостатком проекций является их громоздкость. Это затрудняет использование проекций при работе с большими массивами морфологических данных – например, при описании форм минералов какого-либо месторождения, или вариаций формы того или иного минерала, и т.п. Необходим способ более компактного представления огранки кристаллов. Для этого используют числовые кристаллографические символы, присваиваемые граням кристалла. Мы уже сталкивались с символами граней, рассматривая таблицу простых форм 4.2, однако тогда говорить об их смысле было преждевременно. Как видно из этой таблицы, символы граней (в данном случае – символы простых форм) состоят из трех или четырех небольших чисел – индексов. Эти числа определяют наклоны граней к осям координатной системы, жестко связанной с кристаллом. Определение значений индексов, а соответственно, и символа грани называется индицированием. Прежде, чем переходить собственно к индицированию граней, необходимо ввести координатные системы, в которых индексы определяются.

Кристаллографические координатные системы

Связанная с кристаллом координатная система должна отражать симметрию кристалла. Поэтому для разных сингоний необходимо использовать разные системы координат, различающиеся углами между координатными осями и масштабами (единицами измерения) по осям. Координатная система наиболее общего вида показана на рис. 5.1. Начало координат помещается в центре кристалла, ось Z направляется вертикально вверх, ось Y – слева направо, ось X– более или менее на наблюдателя, и эти направления соответствуют положительным концам осей координат (координатная система правая). Обозначения углов между осями и единиц измерения по осям показаны на рис. 5.1. Координатные оси выбираются вдоль плотных рядов пространственной решетки, и масштабные отрезки по осям a, b, с равны периодам идентичности вдоль этих рядов. На кристаллических многогранниках плотным рядам решетки соответствуют оси симметрии, нормали к плоскостям симметрии (инверсионные оси второго порядка), а также реальные или возможные ребра кристалла. По этим направлениям и выбирают координатные оси для макрокристаллов. Если координатные оси совмещаются элементами симметрии кристалла (идут по симметрично-равным направлениям), то единицы измерения по таким осям одинаковы, если же оси не совмещаются элементами симметрии, единицы измерения по ним не равны. Конкретный способ выбора единиц измерения (масштабов) по координатным осям на кристаллических многогранниках будет рассмотрен далее, в разделе 5.6.

Выбор кристаллографической координатной системы называется установкой кристалла. Мы подробно рассматривали в разделе 3.2, как надо ориентировать кристаллы при их проектировании. Это, собственно, и есть правила установки. В табл. 5.1 для кристаллов разных сингоний показаны координатные системы с их угловыми и линейными параметрами. Рассмотрим их подробнее.

Триклинная сингония. Поскольку оси и плоскости симметрии отсутствуют, то координатные оси выбираются по трем непараллельным ребрам кристалла. В результате получаем косоугольную систему координатα≠β≠γ≠90^○. Отсюда и название триклинной сингонии – три косых (греч. клинос) координатных угла. Ребра, по которым проходят координатные оси, не связаны элементами симметрии, поэтому масштабы по осям не равны, a≠b≠c. Хотя эта координатная система самого общего вида, выбираем мы ее не вполне произвольно. За ось Zпринимается ось наиболее развитой зоны (см. раздел 3.5), т.е. направление, параллельное наибольшему числу граней или ребер. Оси Xи Y выбираются по таким ребрам, чтобы углы между координатными осями были, по возможности, близки к 90^○. Пример выбора координатных осей для кристалла триклинной сингонии приведен на рис. 5.2.

Моноклинная сингония. Имеется единственная ось симметрии второго порядка – простая или инверсионная (нормаль к плоскости симметрии). Принято выбирать эту ось за координатную ось Y (минералогическая установка). Оси X и Z берутся в плоскости, перпендикулярной оси Y, вдоль реальных или возможных ребер кристалла. При этом за ось Zпринимается направление оси наиболее развитой зоны. Ось X выбирается так, чтобы ее положительный конец был наклонен к наблюдателю, т.е. чтобы угол β между положительными концами осей X и Z был тупым (рис. 5.3),но по возможности близким к 90^○. Таким образом, углы между осями координат α=γ=90^○, β˃90^○. Оси координат не связаны элементами симметрии, и масштабы по осям не равны: a≠b≠c.

Ромбическая сингония. Имеются три взаимно перпендикулярных оси второго порядка – простые или инверсионные, вдоль которых и выбираются координатные оси. Следовательно, координатные углы прямые, α=β=γ=90^○. Такая координатная система называется ортогональной (греч. ортос – прямой). В планальном виде симметрии поворотная ось симметрии L₂обязательно берется за ось Z(рис. 5.4а). В аксиальном и аксиально-центральном видах симметрии за ось Zпринято выбирать ту L₂, которая параллельна оси наиболее развитой зоны (рис. 5.4б). Какую из оставшихся осей L₂ или L_i2взять за ось X, а какую за ось Y – безразлично (если исходить только из морфологии кристалла). Координатные оси не связаны элементами симметрии, и масштабы по осям не равны: a≠b≠c.

Тетрагональная сингония. Ось четвертого порядка, простая или инверсионная, выбирается за координатную ось Z. За оси XиY выбираются два взаимно перпендикулярных направления в плоскости, перпендикулярной осиZ. Таким образом, координатная система ортогональна, α=β=γ=90^○. За оси X, Yвыбираются поворотные оси симметрииL₂ или перпендикуляры к продольным плоскостям симметрии (инверсионные оси L_i2). Если осей и плоскостей симметрии нет, горизонтальные координатные оси выбираются по действительным или возможным взаимно перпендикулярным ребрам кристалла, лежащим в плоскости, перпендикулярной главной оси симметрии (рис. 5.5). Выбор горизонтальных координатных осей неоднозначен. При наличии 4L₂или 4mимеется две равноправные установки, различающиеся поворотом на 45^○ вокруг оси L₄. При отсутствии осей второго порядка или плоскостей симметрии вариантов выбора горизонтальных координатных осей может быть еще больше. При любом варианте выбора оси X, Yсвязаны главной осью симметрии, т.е. симметрично равны. Соответственно, и масштабы по этим осям равны, но отличаются от масштаба по оси Z: a=b≠c.

Кубическая сингония. Имеются три взаимно перпендикулярных оси симметрии – 3L₂, 3L_i4 или3L₄. Эти направления и принимаются за координатные оси, и, таким образом, координатные углы α=β=γ=90^○, система ортогональна (рис. 5.6). Все три координатных оси связаны осями третьего порядка, т.е. симметрично равны, и, значит, равны масштабы по осям a=b=c. Координатная система кубической сингонии, единственная из всех кристаллографических координатных систем, является привычной Декартовой системой. Заметим, что хотя координатные системы ромбической и тетрагональной сингоний также ортогональны, они не Декартовы, так как масштабы по трем осям координат не равны.

Тригональная и гексагональная сингонии. Эти сингонии отличаются от всех остальных тем, что для них используется четырехосная координатная система. Ось Zнаправляется по главной оси. Горизонтальные координатные оси X и Y выбирают вдоль осей второго порядкаили вдоль перпендикуляров к продольным плоскостям симметрии. Если осей второго порядка и плоскостей симметрии нет, горизонтальные оси координат направляют вдоль реальных или возможных ребер кристалла, лежащих в плоскости, перпендикулярной главной оси симметрии, под углом 120^○друг к другу.Направления горизонтальных координатных осей X и Y являются симметрично-равными, так как они связаны главной осью симметрии. Однако имеется и третье совершенно аналогичное и,значит, равноправное направление, симметрично-равное осям Xи Y. Поэтому вводится еще одна горизонтальная ось W, и получаем четырехосную координатную систему (рис. 5.7). Угловые параметры координатной системы равны α=β=90^○, γ=120^○, масштабы равны по горизонтальным осям и отличаются от масштаба по оси Z, a=b≠c. Такая необычная координатная система используется не только по формальным соображениям равноправия трех эквивалентных горизонтальных осей. Главная причина – обеспечить выполнение во всех сингониях одинаковых соотношений между символами разных граней одной простой формы – мы рассмотрим это в разделе 5.9.

Прежде чем приступать к индицированию граней кристаллов, покажем, как с использованием кристаллографических координат можно компактно записать вид симметрии кристалла.

Поиск по сайту: