Индицирование граней методом перекрестного умножения

Чтобы получить символ грани, находящейся на пересечении двух зон, нужно знать символы этих зон. Пусть эти символы будут [ r₁s₁t₁ ] и [ r₂s₂t₂ ]. Искомый символ грани - (hkl). Поскольку грань лежит одновременно в двух зонах, мы можем записать систему из двух уравнений Вейса, связывающих символы грани и каждой из двух зон:

hr₁ + ks₁ + lt₁ = 0

hr₂ + kl₂ + lt₂ = 0

Поскольку число уравнений (два) меньше числа неизвестных (три), эта система неопределенна и имеет бесконечное множество решений вида:

W = D₁, k = W = D₂, l = ₃ ,

где D₁, D₂, D₃ – определители, составленные из коэффициентов уравнений (т.е. индексов в символах зон), а W – произвольная постоянная. Поскольку нам нужны отношения индексов h: k: l, то произвольная постоянная в этих отношениях сокращается, и мы получаем h: k: l = D₁ : D₂: D₃. Раскрывая определители, имеем:

h: k: l = (s₁t₂ – s₂t₁): (t₁r₂ – t₂r₁): (r₁s₂ – r₂s₁).

Чтобы не ошибиться в вычислениях, используют мнемоническое правило, которое и называется перекрестным умножением. Выписывают два раза в строчку индексы первой зоны, под ними так же индексы второй зоны. Затем отбрасывают первый и последний столбцы, а оставшиеся индексы перемножают перекрестно, верхние на нижние, как показано косыми черточками, начиная слева. Отношения разностей перекрестных произведений, сокращенные до взаимно простых чисел, и дают искомый символ грани

^{-------------------------------------------------}

(s₁t₂ – s₂t₁): (t₁r₂ – t₂r₁): (r₁s₂ – r₂s₁) = h: k: l,

т.е. получили то же, что и при непосредственном раскрытии определителей.

В свою очередь, символ каждой из зон, по которым мы определяли символ грани, лежащей на их пересечении, можем получить перекрестным умножением символов двух граней, лежащих в соответствующей зоне. Итак, для нахождения неизвестного символа грани надо знать символы четырех других граней, лежащих попарно в двух пересекающихся на искомой грани зонах. Метод перекрестного умножения при этом придется применить три раза: 1) по символам двух граней определить символ одной из зон; 2) по символам двух других граней найти символ второй зоны; 3) по найденным символам двух зон определить символ грани, лежащей на их пересечении.

Заметим, что в результате перекрестного умножения мы можем получить как символ искомой грани, так и символ грани, ей параллельной, т.е. с противоположными знаками индексов. Это зависит от порядка записиисходных символов зон – какой символ записывается сверху, какой – снизу. Точно так же при определении символа зоны получаем символы двух противоположных направлений, параллельных оси зоны, в зависимости от порядка записиисходныхсимволов граней. Специально за этим можно не следить, так как всегда легко сообразить по знакам индексов, получили мы символ нужной грани, или же грани, ей параллельной.

Полезно помнить, что если ось зоны параллельна какой-либо координатной грани – (100), (010), (001), - то в символе зоны соответственно первый, второй или третий индекс равен нулю. Если направление параллельно двум координатным граням (т.е. ребру между ними), то два соответствующих индекса равны нулю, а третий – единице. Эти три направления [100], [010], [001] являются координатными осямиX, Y, Z. В ряде случаев символ направления, перпендикулярного определенной грани, совпадает с символом этой грани: 1) в кубической сингонии – для всех граней; 2) в средних сингониях – для всех граней вертикальной зоны [001] и для граней (001) и (001̅); 3) в ромбической сингонии – для координатных граней; 4) в моноклинной сингонии – для граней (010) и (01̅0).

Покажем действие метода перекрестного умножения на примере кубического кристалла нашатыря NH₄Cl – рис. 5.28. Кристалл огранен тетрагонтриоктаэдром{211} и общей формой – пентагонтриоктаэдром{ hkl }. Определим численное значение символа грани 2 пентагонтриоктаэдра. Эта грань лежит на пересечении зон (100) – (121) и (110) – (101). Получим сначала символы этих двух зон, а затем по символам зон – искомый символ грани 2:

^{---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------}

[012̅] [11̅1̅] (3̅2̅1̅) = (321)

Как и в методе сложения символов, если подходящих зон на кристалле не найдется, их можно получить методом развития зон.

Теперь посмотрим, как пользоваться перекрестным умножением в случае кристаллов гексагональной и тригональной сингоний, с четырехиндексными символами граней. Как говорилось выше, в уравнении Вейса в этих случаях вместо индексов h и k используют субиндексы (h–i) и (k–i). Символ зоны после перекрестного умножения получается трехиндексным, и дополнительный индекс находим как сумму первых двух индексов с обратным знаком. Аналогично поступаем при вычислении символа грани по четырехиндексным символам двух зон. Однако если символы зон как таковые нам не нужны, можно использовать более простую процедуру, без вычисления субиндексов.

Для каждой зоны подвергнем перекрестному умножению символы лежащих в ней двух граней, опустив в этих символах третьи индексы i. Полученные в результате трехчленные числа не являются символами зон! Подвергнув теперь эти числа перекрестному умножению, получим трехиндексный символ грани, лежащей на пересечении зон. Дополнительный индекс i найдем как сумму первых двух индексов с обратным знаком.

В качестве примера определим символ грани 1 тригонального трапецоэдра кристалла кварца (рис. 5.29). Эта грань лежит на пересечении зон (112̅0) – (22̅01) и (101̅0) – (112̅1). Выполним перекрестное умножение символов этих пар граней без третьих индексов, а затем перекрестное умножение полученных троек чисел:

^{-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------}

11̅4̅ 01̅1 (5̅1̅1̅) = (511)

Вычислив третий индекс -(5 + 1) = -6, получим окончательно символ грани 1 тригонального трапецоэдра: (516̅1). Заметим, что метод сложения символов в данном случае использовать было бы затруднительно.

Таким образом, используя метод перекрестного умножения, мы можем точно проиндицировать грани с достаточно сложными символами. Но поскольку этот метод все же довольно громоздкий, его применяют, если трудно определить символ грани более простыми способами.

Подписи к рисункам – раздел 5.

Рис.5.1. Координатная система общего вида и геометрические параметры кристалла – линейные a, b, c и угловые α, β, γ.

Рис.5.2. Пример выбора координатных осей в триклином кристалле.

Рис.5.3. Выбор координатных осей в моноклинных кристаллах. Виды симметрии: а – L₂, б – m, в – L₂ m C.

Рис.5.4. Выбор координатных осей в ромбических кристаллах. Виды симметрии: а – L₂2 m, б – 3L₂, в – 3L₂3 m C.

Рис.5.5. Выбор координатных осей в тетрагональных кристаллах. Виды симметрии: а – L₄ 4L₂5 m C, б – L₄4 m.

Рис.5.6. Выбор координатных осей в кубических кристаллах. Виды симметрии: а – 3L₄4L₃6L₂9 m C, б – 3L_i44L₃6 m, в – 3L₂4L₃3 m C.

Рис.5.7.Выбор координатных осей в тригональных и гексагональных кристаллах:а - расположение трех горизонтальных координатных осейX, Y, Wв тригональной и гексагональной сингониях; б – вид симметрии L_i33L₂3 m; в – вид симметрии L₆6L₂7 m C, показаны две равноправные установки.

Рис.5.8. Параметры грани A, B, C – отрезки, отсекаемые гранью на координатных осях X, Y, Z; a, b, с – периоды идентичности по координатным осям (осевые масштабы).

Рис.5.9. К закону целых чисел Аюи.

Рис.5.10. Положение единичной грани относительно координатных осей в кристаллах кубической сингонии.

Рис.5.11. Варианты положения единичных граней относительно координатных осей в кристаллах тетрагональной сингонии.

Рис.5.12. Положение единичной грани относительно координатных осей в кристаллах ромбической (а), моноклинной (б) и триклинной (в) сингоний.

Рис.5.13. Варианты положения единичной грани относительно координатных осей в тригональной и гексагональной сингониях.

Рис.5.14. Кристалл с двуединичными гранями. Вид симметрии 2 (винная кислота).

Рис. 5.15. Разные варианты выбора двуединичных граней: 2 и 4, 2 и 5, 3 и 4, 3 и 5.

Рис.5.16. Символы граней тетрагонтриоктаэдра (гранат): а – кристалл, б – стереограмма.

Рис.5.17. К индицированию граней тетрагонального кристалла. Фтористое серебро, моногидрат.

Рис.5.18. К индицированию граней моноклинного кристалла. Реальгар.

Рис.5.19. К индицированию граней тригонального кристалла. Кварц.

Рис.5.20. Трех- и четырехиндексные символы граней гексагональной призмы.

Рис.5.21. Позиции основных граней на стереограммах кристаллов с ортогональной (а) и косоугольной (б) системами координат.

Рис.5.22. Последовательность развития зон при выводе граней ромбического кристалла.

Рис.5.23. Зональные изменения индексов в символах граней. Серии зон: а – (100)–(1̅00), б – (010)–(01̅0), в – (001)-(001̅).

Рис.5.24. К определению соотношения индексов в символе грани. Моноклинный кристалл.

Рис.5.25. Определение положения единичной грани по двум двуединичным граням. Моноклинный кристалл.

Рис.5.26. Индицирование грани тетрагонального кристалла методом сложения символов. Циркон.

Рис.5.27. К определению символа направления [ rst ].

Рис.5.28. Индицирование грани пентагонтриоктаэдра методом перекрестногоумножениния. Нашатырь.

Рис.5.29. Индицирование грани тригонального трапецоэдра методом перекрестного умножения. Кварц.

Подписи к таблицам.

Табл.5.1. Установка кристаллов.

Табл.5.2. Схема построения международных символов Германа-Могена.

Поиск по сайту: