Конечномерные динамические системы

Динамическая система (ДС) – это любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени, и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию однозначно прогнозировать будущее состояние ДС и его называют законом эволюции, который является детерминированным оператором.

Комментарий. В основу теории динамических систем положены два понятия: понятие состояния (информация о системе в какой-то (начальный) момент времени и понятие оператора эволюции или динамики (правила, описывающего эволюцию системы во времени).

Таким образом, главное свойство ДС состоит в том, что зная ее состояние в некоторый момент времени, можно найти состояние в любой последующий момент времени. Для этого достаточно применить к начальному состоянию закон эволюции.

В смысле его задания ДС могут описываться с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, с помощью теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей ДС. Математическая модель ДС считается заданной, если введены параметры (координаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан закон эволюции состояния во времени.

В зависимости от степени приближения одной и той же системе могут быть поставлены в соответствие различные математические модели.

Исследуя одну и ту же динамическую систему (например, движение маятника), в зависимости от учета различных факторов мы получим различные математические модели.

В дальнейшем под динамической системой будем понимать ее математическую модель.

Рассмотрим ДС, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений. Для определения ДС указывается объект, допускающий описание состояния заданием величин x ₁, x ₂, …, x_N в некоторый момент времени t = t ₀. Величины x_i могут принимать произвольные значения, причем двум различным наборам величин x_i и x ’ _i отвечают два разных состояния. Закон эволюции динамической системы во времени записывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Величины x ₁, x ₂, …, x_N - фазовые переменные системы,

m - вектор управляющих параметров,

F ₁, F ₂, …, F_N – некоторые функции.

Для конечномерных динамических систем имеют место теоремы существования, единственности и непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметров и начальных условий, которые сформулированы (при некоторых достаточных условиях) для невырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, записанных в нормальной форме. То есть некорректность здесь полностью исключена. Однако если условия этих теорем не выполняются, как в случае уравнения то даже линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений может стать некорректной. Рассмотрим линейную систему . Нормальная форма Коши для неё имеет вид Ясно, что при система становится вырожденной и непрерывная зависимость решения от параметра исчезает. Это значит, что её нет и в исходной системе. А это уже некорректность.

Этот случай аналогичен тому, что происходит в системах линейных алгебраических уравнений и будет подробно рассмотрен ниже.

Но даже если условия этих теорем выполнены, в нелинейных конечномерных динамических системах, фазовое пространство которых имеет порядок три и выше может возникнуть ситуация, которая называется “некорректностью в большом”.

Обычно считается, что фазовое пространство подчинено аксиоме Хаусдорфа (аксиома отделимости ): для любых двух точек и метрического пространства существуют открытые шары и и такое , для которого их пересечение пусто. На самом деле, так как начальные условия нельзя задать в точке, всегда существует такое, что в шаре все точки неразличимы. Именно этот шар движется в фазовом пространстве. Траектория его в фазовом пространстве называется инвариантной(состоящей из траекторий) хаусдорфовой трубкой. Фазовые траектории в фазовом пространстве динамических систем не пересекаются в силу принципа детерминизма и, следовательно, теоремы существования и единственности решения дифференциальных уравнений, но трубки могут пересекаться.

Комментарий. Это значит, что даже в простых конечномерных фазовых пространствах с сохраняющимся или сжимающимся фазовым объемом возможно очень сложное движение. Оно возникает, если фазовые траектории нелинейной системы неустойчивы, то есть трубка расширяется и в условиях замкнутого и ограниченного фазового объема «размазывается» по всему фазовому пространству. В линейном случае это невозможно. В нелинейном случае, если эвклидова размерность фазового пространства не меньше трёх, возникает явление стохастичности динамических систем: в фазовом пространстве системы существуют неустойчивые направления, по которым они фазовые траектории разбегаются, и существуют устойчивые, по которым сбегаются.

Фазовые траектории не могут быть неустойчивыми одновременно по всем направлениям это приведет к неограниченности фазового объема, в котором неустойчивые траектории располагаются; поэтому такие траектории могут быть только седловыми они неустойчивы по одним направлениям и устойчивы по другим. Эти направления не должны пересекаться, что порождает очень сложную систему траекторий (гомоклиническую структуру) и полную независимость, начиная с некоторого момента времени, от начальных условий. Поскольку существуют устойчивые траектории и фазовый объём ограничен, то это, всё-таки, притягивающее множество, то есть аттрактор. Такие аттракторы называются странными. Популярнейшим примером конечномерных динамических систем, в фазовом пространстве которых при некоторых значениях параметров возникает странный аттрактор, является система уравнений Лоренца, демонстрирующая стохастическое поведение. Решение дифференциального уравнения со странным аттрактором в фазовом пространстве выглядит как белый шум (случайный процесс).

Комментарий. Решение дифференциального уравнения со странным аттрактором в фазовом пространстве выглядит как белый шум (случайный процесс). Это и называется “некорректностью в большом”. Корректным динамическим системам соответствуют два типа устойчивости.

Устойчивость по Ляпунову: Пусть из начальной точки фазового пространства выпущена интегральная кривая x(t). Если ,то точки в любой момент времени будут находиться в шаре радиуса .

Асимптотическая устойчивость по Ляпунову: .

Орбитная устойчивость (устойчивость по Андронову). Пусть - невозмущенная, а - возмущенная траектория. Динамическая система устойчива по Андронову, если . Из устойчивости по Ляпунову следует устойчивость по Андронову. Обратное, вообще говоря, не верно.

Задача Коши поставлена динамически корректно, если ее решение существует, единственно и устойчиво к малому изменению начальных данных.

Если система неустойчива, но фазовый объём замкнут и ограничен, то имеет место устойчивость по Пуанкаре. Если - некоторая точка ФП, а - её возмущенное значение, то для каких-то , таких, что .

Пример. Рассмотрим пример задачи, некорректной в большом, на языке отображений.

Динамические системы можно классифицировать в зависимости от вида оператора отображения и структуры фазового пространства.

1. Если оператор предусматривает только линейные преобразования начального состояния, то он называется линейным. Линейный оператор обладает свойством суперпозиции:

Если оператор нелинейный, то и соответствующая динамическая система называется нелинейной.

1. Системы, для которых отображение x (t) с помощью оператора Т может быть определено для любых t > t ₀ (непрерывно во времени), называют системами с непрерывным временем или потоками (по аналогии со стационарным течением жидкости).

Если оператор отображения определен на дискретном множестве значений времени, то соответствующие динамические системы называют системами с дискретным временем, или итерируемыми отображениями (в дальнейшемдля краткости – просто отображения).

Если наложить дополнительное условие на модель с непрерывным временем (введение так называемого сечения Пуанкаре), то данная модель переходит уже в класс систем с дискретным временем.

Свойства отображения:

1. Это, очевидно, растягивающее отображение в ограниченном фазовом объеме – единичном квадрате.

2. Неустойчивость к начальным условиям. Здесь есть резкоеразбегание близких траекторий: если первоначальная разница между точками была в -том знаке после запятой, то, спустя итераций разница между ними будет в 1-ом знаке, а после итераций будет потеряна вся информация о начальных данных. Решение теперь от них не зависит и их невозможно восстановить. Эта необратимость по отношению к причинно-следственным или каузальным связям тоже характерная черта некорректности.

3. Бернуллиевость. Мы имеем дело с чисто случайным процессом, как в схеме испытаний Бернулли.

4. Эргодичность. Пусть точка задана приближённо, то есть с конечным числом знаков после запятой: . Число комбинаций из элементов равно , то есть конечно, а на самом деле то есть имеет бесконечное число знаков после запятой. Тогда, в соответствии с принципом Вейерштрасса, изображающая точка сколь угодно близко подойдет к любому своему положению, в том числе и начальному, причём бесконечное число раз. Это и есть свойство эргодичности.

Комментарий. Вот рассуждение из фейнмановских лекций по физике: "Обычно думают, что недетерминированность, невозможность предсказать будущее --- это особенность квантовой механики, и именно с ней связывают представление о свободе воли и т.д. Но если бы даже наш мир был классическим, т.е. если бы законы механики были классическими, все равно из этого не следует, что те же или какие-то аналогичные представления не возникли бы. Да, конечно, с точки зрения классики, узнав местоположение и скорость всех частиц в мире (или в сосуде с газом), можно точно предсказать, что будет дальше. В этом смысле классический мир детерминирован. Но представьте теперь, что наша точность ограничена и что мы не знаем точно положение только одного из атомов; знаем, скажем, его с ошибкой в одну миллиардную. Тогда, если он столкнется с другим атомом, неопределенность в знании его координат после столкновения возрастет. А следующее столкновение еще сильнее увеличит ошибку. Так что если сначала ошибка и была еле заметной, то все равно вскоре она вырастает до огромнейшей неопределенности.

Правильнее будет сказать, что для данной точности (сколь угодно большой, но конечной) можно всегда указать такой большой промежуток времени, что для него становится невозможным сделать предсказания. И этот промежуток (в этом вся соль) не так уж велик... Время с уменьшением ошибки растет только логарифмически, и оказывается, что за очень и очень малое время вся наша информация теряется".

Американское издание фейнмановских лекций вышло в 1963 г. В том же году в "Journal of the Atmospheric Sciences" появилась статья американского метеоролога Эдварда Лоренца, положившая начало новому направлению в естествознании --- исследованию хаоса в детерминированных системах.

Были приведены самые яркие примеры некорректных задач, спектр которых, на самом деле, значительно шире.

Поиск по сайту: