Решение. Собственные функции этих операторов удовлетворяют уравнениям:

.

Собственные функции этих операторов удовлетворяют уравнениям:

где - собственные значения операторов.

Функция удовлетворяет всем этим трем уравнениям, т.е. является общей собственной функцией , , .

Это показывает, что проекции количества движется на все три оси координат могут иметь одновременно определенные значения. Это можно доказать.

; ; .

Аналогично .

Вариант № 4.

Задача 1:

Кинетическая энергия Т электронов в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные размеры атома.

Решение:

∆х ∆r ³ ђ²

∆х – неопределенность координаты.

∆r – неопределенность импульса.

Чем точнее определяется положение частицы, в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно и энергия частицы

ℓ – линейные размеры атома.

Электрон находится в пределах области с неопределенностью ∆х = ℓ / 2

Неопределенность импульса не должна превышать самого импульса.

Задача 2:

Считая, что нуклон в ядре находится в трехмерном потенциальном ящике кубической формы (а₁ = а₂ = а₃ = а = 10^-14м) с непроницаемыми стенками. Оценить низший энергетический уровень нуклона в ядре. Масса покоя нуклона равна m_р = 1,67 ´ 10^-27кг.

Решение:

Максимальное значение энергии, соответствующее минимальным значениям квантовых чисел, которые равны n₁ = n₂ = n₃ = 1

или

Такие значения энергии нуклонов в миллионы раз больше, чем энергия электронов в атомах. Поэтому в ядерных процессах выделяется энергия во много раз большая, чем при химических реакциях.

Задача 3:

Фотон с энергией Е = 0,75 МэВ рассеялся на свободном электроне под углом q = 60° Принимая, что кинетическая энергия и импульс электрона до соударения с фотоном были пренебрежимо малы, определить:

1) Энергию рассеянного фотона.

2) Кинетическую энергию Т электрона отдачи.

3) Направление его движения.

Решение:

1)

2) По З.С.Э.

3) По З. С. И.

Где P = E / C и P^/ = E^/ / C

(; ; ; )

(2)

Из (1):

или (3)

Заменим в (2) соотношение Е / Е^/ по (3)

и

Задача 4:

Показать, что х^ и Р^_y коммутирующие операторы.

Решение:

Вариант № 5.

Задача 1:

Используя соотношение неопределенностей энергии и времени, определить естественную ширину ∆l спектральной линии излучения атома при переходе его из возбужденного состояния в основное. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии принять равным 10^-8 с, а длину волны l излучения равной 600 нм.

Решение:

При переходе атомов из возбужденного состояния в основное существует некоторый разброс (неопределенность) в энергии испускаемых фотонов. Это связано с тем, что энергия возбужденного состояния не является точно определенной, а имеет конечную ширину Г. Согласно соотношению неопределенностей энергии и времени, ширина энергетического возбужденного состояния Г связана со средним временем τ жизнь атомов в этом состоянии соотношением.

Þ

, то разброс ∆Е (∆Е<<Е) энергии соответствует разброс ∆l длин волн (∆l<<l):

, знак ²-² опущен, где ∆l - естественная ширина спектральной линии.

P. S.

Задача 2:

Одномерный гармонический осциллятор – частица совершающая движение под действием квазиупругой силы f = k x. Потенциальная энергия такой частицы Потенциальная кривая есть парабола, вроде ящика с ограждающими стенками. Записать стационарное уравнение Шредингера и определить из его регулярных решений волновую функцию и записать энергию.

Решение:

Обозначим

Если a x>>l, то

Решение его , надо взять со знаком ²-², так как со знаком ²+² функция неограниченно растет

из решений рекуррентной формулы.

Подставим l и а:

, откуда

, где n = 0,1,2…

Где - энергия низшего квантового состояния при n = 0, энергия осциллятора не обращается в нуль. Е₀ – нулевая энергия. Она не исчезает и при нулевом значении температуры.

Задача 3:

Световой поток, состоящий из n = 5 ´ 10⁴, фотонов света, обладающих энергией, соответствующей длине волны l = 300 нм, падает на фоточувствительный слой, чувствительность которого k = 4,5 мА / Вт. Найдите количество фотоэлектронов, освобождаемых таким импульсом света.

Решение:

Чувствительностью фотоэлемента принято называть величину фототока, вызванного световым потоком единичной мощности .

Время облучения фотоэлемента светом и время протекания фототока одно и то же (процесс без инерционный). Энергия импульса, содержащего n электронов:

, t – время облучения. Заряд, переносимый n электронами, вырванными импульсом света с катода . Этот заряд создает фототок , где t – время облучения. Заряд электрона равен . Следовательно чувствительность фотоэлемента может быть выражена так: , откуда

Задача 4:

Показать, что х^ и Р^_х не коммутируют.

Решение:

Т. е.

Или ; ;

Вариант № 6.

Задача 1:

Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга, получить оценочное соотношение, определяющее границы применимости классической механики для описания движения частицы в некоторой области пространства с характерным линейным размером L.

Решение:

Можно использовать понятие траектории для описания механического движения частицы только в том случае, если неопределенность координаты мала по сравнению с характерным размером области движения, т. е. Dх << L

Полагая , оценим минимальное значение неопределенности Dх.

, тогда это условие, при выполнении которого для описания движения можно использовать законы классической механики, пренебрегая квантовыми эффектами, запишется:

Если , то квантовыми эффектами пренебречь нельзя.

Задача 2:

Частица находится в потенциальном ящике, а₁ = а₂ = а₃ = а, который обладает пространственной симметрией. Частица находится в состоянии, которому соответствует энергия , где . Определить кратность вырождения состояний.

Решение:

Этому значению энергии соответствуют шесть различных состояний, каждому из которых соответствует одно и тоже значение энергии.

Число совпадающих уровней энергии называется квантовым весом, или кратностью вырождения. Кратность вырождения равна 6.

Задача 3:

Поверхность металла освещается светом с длиной волны l = 350 нм. При некотором задерживающем потенциале фототок становится равным 0, При изменении длины волны на 50 нм задерживающую разность потенциалов пришлось увеличить на 0,59 В. Определить заряд электрона, работу выхода и красную границу фотоэффекта.

Решение:

- импульс.

Максимальная кинетическая энергия электрона может быть определена через запирающее напряжение на фотоэлементе:

Световое давление, возникающее за счет передачи фотонами импульса при соударении с преградой: N – число фотонов, падающих на единичную площадку в единицу времени. R – коэффициент отражения (по энергии). J – световой поток, падающий на площадку в единицу времени.

, где

;

Вычитаем:

Если , то

l=l_кр.2 = 0,35 мкм, является красной границей фотоэффекта.

Задача 4:

Вычислить среднее значение кинетической и потенциальной энергии.

Решение:

,

где

,

Средняя потенциальная энергия равна средней кинетической, как и в классической механике.

, нулевое состояние есть состояние с определенной энергией.

, при n = 0. Она не исчезнет и при температуре абсолютного нуля.

Поиск по сайту: