|
|||||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Решение. Собственные функции этих операторов удовлетворяют уравнениям:. Собственные функции этих операторов удовлетворяют уравнениям: где - собственные значения операторов. Функция удовлетворяет всем этим трем уравнениям, т.е. является общей собственной функцией , , . Это показывает, что проекции количества движется на все три оси координат могут иметь одновременно определенные значения. Это можно доказать. ; ; . Аналогично .
Вариант № 4. Задача 1: Кинетическая энергия Т электронов в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные размеры атома. Решение: ∆х ∆r ³ ђ2 ∆х – неопределенность координаты. ∆r – неопределенность импульса. Чем точнее определяется положение частицы, в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно и энергия частицы ℓ – линейные размеры атома. Электрон находится в пределах области с неопределенностью ∆х = ℓ / 2
Неопределенность импульса не должна превышать самого импульса.
Задача 2: Считая, что нуклон в ядре находится в трехмерном потенциальном ящике кубической формы (а1 = а2 = а3 = а = 10-14м) с непроницаемыми стенками. Оценить низший энергетический уровень нуклона в ядре. Масса покоя нуклона равна mр = 1,67 ´ 10-27кг. Решение: Максимальное значение энергии, соответствующее минимальным значениям квантовых чисел, которые равны n1 = n2 = n3 = 1 или Такие значения энергии нуклонов в миллионы раз больше, чем энергия электронов в атомах. Поэтому в ядерных процессах выделяется энергия во много раз большая, чем при химических реакциях.
Задача 3: Фотон с энергией Е = 0,75 МэВ рассеялся на свободном электроне под углом q = 60° Принимая, что кинетическая энергия и импульс электрона до соударения с фотоном были пренебрежимо малы, определить: 1) Энергию рассеянного фотона. 2) Кинетическую энергию Т электрона отдачи. 3) Направление его движения. Решение: 1)
2) По З.С.Э. 3) По З. С. И. Где P = E / C и P/ = E/ / C (; ; ; ) (2) Из (1): или (3) Заменим в (2) соотношение Е / Е/ по (3) и Задача 4: Показать, что х^ и Р^y коммутирующие операторы. Решение:
Вариант № 5. Задача 1: Используя соотношение неопределенностей энергии и времени, определить естественную ширину ∆l спектральной линии излучения атома при переходе его из возбужденного состояния в основное. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии принять равным 10-8 с, а длину волны l излучения равной 600 нм. Решение: При переходе атомов из возбужденного состояния в основное существует некоторый разброс (неопределенность) в энергии испускаемых фотонов. Это связано с тем, что энергия возбужденного состояния не является точно определенной, а имеет конечную ширину Г. Согласно соотношению неопределенностей энергии и времени, ширина энергетического возбужденного состояния Г связана со средним временем τ жизнь атомов в этом состоянии соотношением. Þ , то разброс ∆Е (∆Е<<Е) энергии соответствует разброс ∆l длин волн (∆l<<l): , знак ²-² опущен, где ∆l - естественная ширина спектральной линии. P. S.
Задача 2: Одномерный гармонический осциллятор – частица совершающая движение под действием квазиупругой силы f = k x. Потенциальная энергия такой частицы Потенциальная кривая есть парабола, вроде ящика с ограждающими стенками. Записать стационарное уравнение Шредингера и определить из его регулярных решений волновую функцию и записать энергию. Решение: Обозначим
Если a x>>l, то Решение его , надо взять со знаком ²-², так как со знаком ²+² функция неограниченно растет из решений рекуррентной формулы. Подставим l и а: , откуда , где n = 0,1,2… Где - энергия низшего квантового состояния при n = 0, энергия осциллятора не обращается в нуль. Е0 – нулевая энергия. Она не исчезает и при нулевом значении температуры.
Задача 3: Световой поток, состоящий из n = 5 ´ 104, фотонов света, обладающих энергией, соответствующей длине волны l = 300 нм, падает на фоточувствительный слой, чувствительность которого k = 4,5 мА / Вт. Найдите количество фотоэлектронов, освобождаемых таким импульсом света. Решение: Чувствительностью фотоэлемента принято называть величину фототока, вызванного световым потоком единичной мощности . Время облучения фотоэлемента светом и время протекания фототока одно и то же (процесс без инерционный). Энергия импульса, содержащего n электронов: , t – время облучения. Заряд, переносимый n электронами, вырванными импульсом света с катода . Этот заряд создает фототок , где t – время облучения. Заряд электрона равен . Следовательно чувствительность фотоэлемента может быть выражена так: , откуда Задача 4: Показать, что х^ и Р^х не коммутируют. Решение: Т. е. Или ; ;
Вариант № 6. Задача 1: Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга, получить оценочное соотношение, определяющее границы применимости классической механики для описания движения частицы в некоторой области пространства с характерным линейным размером L. Решение: Можно использовать понятие траектории для описания механического движения частицы только в том случае, если неопределенность координаты мала по сравнению с характерным размером области движения, т. е. Dх << L Полагая , оценим минимальное значение неопределенности Dх. , тогда это условие, при выполнении которого для описания движения можно использовать законы классической механики, пренебрегая квантовыми эффектами, запишется: Если , то квантовыми эффектами пренебречь нельзя.
Задача 2: Частица находится в потенциальном ящике, а1 = а2 = а3 = а, который обладает пространственной симметрией. Частица находится в состоянии, которому соответствует энергия , где . Определить кратность вырождения состояний. Решение: Этому значению энергии соответствуют шесть различных состояний, каждому из которых соответствует одно и тоже значение энергии.
Число совпадающих уровней энергии называется квантовым весом, или кратностью вырождения. Кратность вырождения равна 6.
Задача 3: Поверхность металла освещается светом с длиной волны l = 350 нм. При некотором задерживающем потенциале фототок становится равным 0, При изменении длины волны на 50 нм задерживающую разность потенциалов пришлось увеличить на 0,59 В. Определить заряд электрона, работу выхода и красную границу фотоэффекта. Решение: - импульс. Максимальная кинетическая энергия электрона может быть определена через запирающее напряжение на фотоэлементе: Световое давление, возникающее за счет передачи фотонами импульса при соударении с преградой: N – число фотонов, падающих на единичную площадку в единицу времени. R – коэффициент отражения (по энергии). J – световой поток, падающий на площадку в единицу времени. , где ; Вычитаем:
Если , то l=lкр.2 = 0,35 мкм, является красной границей фотоэффекта.
Задача 4: Вычислить среднее значение кинетической и потенциальной энергии. Решение: , где , Средняя потенциальная энергия равна средней кинетической, как и в классической механике. , нулевое состояние есть состояние с определенной энергией. , при n = 0. Она не исчезнет и при температуре абсолютного нуля.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.016 сек.) |